Question

1．如圖，點(diǎn)P₁（x₁，y₁），點(diǎn)P₂（x₂，y₂）…點(diǎn)P_n（x_n，y_n）都在函數(shù)y=$\frac{k}{x}（x＞0）$的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_n-1A_n，都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），已知點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P₁作P₁E⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂F⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P₃作P₃G⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃都是等腰直角三角形，可求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律得出點(diǎn)P_n的坐標(biāo)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)P₁作P₁E⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂F⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P₃作P₃G⊥x軸于點(diǎn)G，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=A₁E=$\frac{1}{2}$OA₁，=1，
設(shè)點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（1，1），
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$
設(shè)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（b+2，b），將點(diǎn)P₂（b+2，b）代入y=$\frac{1}{x}$，可得b=$\sqrt{2}$-1，
故點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（ $\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$-1），
則A₁F=A₂F=$\sqrt{2}$-1，OA₂=OA₁+A₁A₂=2 $\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（c+2 $\sqrt{2}$，c），將點(diǎn)P₃（c+2 $\sqrt{2}$，c）代入y=$\frac{1}{x}$，可得c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
故點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（ $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$），
綜上可得：P₁的坐標(biāo)為（1，1），P₂的坐標(biāo)為（ $\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$-1），P₃的坐標(biāo)為（ $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$），
總結(jié)規(guī)律可得：P_n坐標(biāo)為：（ $\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．
故答案為：（ $\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)解析式求出P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律，難度較大．