Question

【題目】《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體的不朽之作，它建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系﹣﹣﹣幾何學(xué)．以下是《幾何原本》第一卷中的命題6，請(qǐng)完成它的證明過(guò)程．

命題6：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．

已知：　 　．

求證：　 　．

證明：若AB≠AC，其中必有一個(gè)較大，不妨設(shè)AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，

連接DC．

∵　 　，

　 　，

　 　，

∴△ACB≌△DBC　 　

∴∠BDC＝∠CAB　 　．

又∠BDC＞∠CAB　 　．

∴∠BDC與∠CAB即等于又大于，顯然是矛盾的．

∴假設(shè)不成立，即AB＝AC．

Answer 1

【答案】：△ABC中，∠B＝∠C；AB＝AC；BD＝CA，∠B＝∠ACB，BC＝CB；（SAS）；（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；（三角形外角性質(zhì)）．

【解析】

運(yùn)用反證法進(jìn)行證明，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．

解：已知：△ABC中，∠B＝∠C．

求證：AB＝AC．

證明：若AB≠AC，其中必有一個(gè)較大，不妨設(shè)AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，

連接DC．

∵BD＝CA，

∠B＝∠ACB，

BC＝CB，

∴△ACB≌△DBC（SAS）

∴∠BDC＝∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．

又∠BDC＞∠CAB（三角形外角性質(zhì)）．

∴∠BDC與∠CAB即等于又大于，顯然是矛盾的．

∴假設(shè)不成立，即AB＝AC．

故答案為：△ABC中，∠B＝∠C；AB＝AC；BD＝CA，∠B＝∠ACB，BC＝CB；（SAS）；（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；（三角形外角性質(zhì)）．