Question

【題目】如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），在線段的同側(cè)分別作等邊和等邊，連結(jié)、，交點(diǎn)為．若，求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意分析得出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是以AB為弦的一段圓弧，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)處時(shí)PQ取得最大值，過點(diǎn)P作OP⊥AB，取AQ的中點(diǎn)E作OE⊥AQ交PQ于點(diǎn)O，連接OA，設(shè)半徑長為R，則根據(jù)勾股定列出方程求出R的值，再根據(jù)弧長計(jì)算公式l=求出l值即可.

解：依題意可知，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是以AB為弦的一段圓弧，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)處時(shí)PQ取得最大值，如圖所示，連接PQ，取AQ的中點(diǎn)E作OE⊥AQ交直線PQ于點(diǎn)O，連接OA，OB.

∵P是AB的中點(diǎn)，

∴PA=PB=AB=6=3.

∵和是等邊三角形，

∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，

∴AP=PD，∠APD=120°.

∴∠PAD=∠ADP=30°，

同理可證：∠PBQ=∠BCP=30°，

∴∠PAD=∠PBQ.

∵AP=PB,

∴PQ⊥AB.

∴tan∠PAQ==

∴PQ= .

在Rt△AOP中，

即

解得：OA= .

∵sin∠AOP===

∴∠AOP=60°.

∴∠AOB=120°.

∴l=== .

故答案選B.