如圖,已知直線l的解析式為,拋物線y = ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,0),B(2,0),D 三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo),并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象;
(2)已知點(diǎn) P(x,y)為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E, 延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F,請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù), 并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將(2)中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連,求證:直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上.
(1),(–4,0),作圖見(jiàn)解析;(2),其中–4 < x < 0,12,(–2,2);(3)證明見(jiàn)解析.

試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系,由y = ax2+bx+2經(jīng)過(guò)B(2,0),D ,將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得關(guān)于a,b的二元一次方程組,解之即可得拋物線的解析式為;將A(m,0)代入所求解析式即可求出m,得到A點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)作出函數(shù)圖象.
(2)根據(jù)得到四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù);應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)應(yīng)用待定系數(shù)法求出PB所在直線的解析式,設(shè)出上的任一點(diǎn)的坐標(biāo),求出其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),代入PB所在直線的解析式,滿足即得結(jié)論.
試題解析:(1)∵y = ax2+bx+2經(jīng)過(guò)B(2,0),D ,
,解得
∴拋物線的解析式為.
∵A(m,0)在拋物線上,∴,解得.
∴A(–4,0).
作拋物線的大致圖象如下:

(2)∵由題設(shè)知直線l的解析式為,∴.
又∵AB=6,∴.
∴將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)為,其中–4 < x < 0.

∴S最大= 12,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(–2,2).

(3)∵ 直線PB過(guò)點(diǎn)P(–2,2)和點(diǎn)B(2,0),
∴PB所在直線的解析式為.
設(shè)Q上的任一點(diǎn),則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
代入顯然成立.
∴直線l上任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在的直線上   .
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

定義1:在△ABC中,若頂點(diǎn)A,B,C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校瑒t規(guī)定它的面積為“有向面積”;若頂點(diǎn)A,B,C按順時(shí)針?lè)较蚺帕,則規(guī)定它的面積的相反數(shù)為△ABC的“有向面積”.“有向面積”用表示,例如圖1中,,圖2中,.
定義2:在平面內(nèi)任取一個(gè)△ABC和點(diǎn)P(點(diǎn)P不在△ABC的三邊所在直線上),稱有序數(shù)組(,,)為點(diǎn)P關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”,記作,例如圖3中,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,,則,點(diǎn)G關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”.在圖3中,我們知道,利用“有向面積”,我們也可以把上式表示為:.
應(yīng)用新知:
(1)如圖4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則        ,點(diǎn)D關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”是       ;探究發(fā)現(xiàn):
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),
①若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AB上),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的“面積坐標(biāo)”為,
試探究之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②若點(diǎn)是第四象限內(nèi)任意一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P關(guān)于的“面積坐標(biāo)”(用x,y表示);
解決問(wèn)題:
(3)在(2)的條件下,點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,求當(dāng)的值最小時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),開口方向都相同,則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”。
(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2—4mx+2m2+1,和y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1),若y1+y2為y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

將拋物線y=(x-1)2+3向左平移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為( 。
A.y=(x-2)2B.y=(x-2)2+6C.y=x2+6D.y=x2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線(0≤x≤3)在x軸上方的部分,記作C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1,將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,C2與x 軸交于另一點(diǎn)A2.請(qǐng)繼續(xù)操作并探究:將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,與x 軸交于另一點(diǎn)A3;將C3繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C4,與x 軸交于另一點(diǎn)A4,這樣依次得到x軸上的點(diǎn)A1,A2,A3,…,An,…,及拋物線C1,C2,…,Cn,….則點(diǎn)A4的坐標(biāo)為         ;Cn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為               (n為正整數(shù),用含n的代數(shù)式表示) .

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

當(dāng)-2≤x≤l時(shí),二次函數(shù)有最大值4,則實(shí)數(shù)m的值為(  )
(A)     (B)   (c)2或  (D)2或

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

把二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像向左平移4個(gè)單位或向右平移1個(gè)單位后都會(huì)經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)是
A.(-2.5,0)B.(2.5,0)C.(-1.5,0)D.(1.5,0)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若二次函數(shù)y=x2﹣2x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,﹣3),則此二次函數(shù)有(     )
A.最小值為-2B.最小值為-3C.最小值為-4D.最大值為-4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

將二次函數(shù)化為的形式,結(jié)果為(  )
A.B.
C.D.

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