Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線l：y=-x-

2

與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿想x軸負方向平移，同時，直線l繞點A以每秒鐘旋轉30°的速度順時針勻速旋轉，當⊙B第一次與⊙O相切時，請判斷直線ι與⊙B的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線l的解析式，分別令x=0和y=0，即可求出A、C點的坐標，進而確定∠CAO的度數．
（2）當⊙B第一次與⊙O相切時，即兩圓外切，d=

2

-1+1=

2

，所以⊙B的圓心的坐標應為（1，1），所以第一次相切，是經過了3s，又因為直線ι繞點A以每秒鐘旋轉30°的速度順時針勻速旋轉，所以3s鐘轉了90°，此時，點B到直線的距離等于半徑1，所以直線與⊙B相切．

解答：解：（1）∵直線l的解析式是y=-x-

2

，
∴直線與y軸的交點坐標是（0，-

2

），
令y=0，則-x-

2

=0，解得，x=-

2

，
∴直線與x軸的交點是（-

2

，0）
∴OA=OC，所以∠CAO=45°．

（2）如圖示，連接MB并延長，交旋轉后的直線l于點N，過B作BP⊥AN于P，
當⊙B第一次與⊙O相切時，即兩圓外切，
∴d=

2

-1+1=

2

，
∴⊙B的圓心的坐標應為（1，1），
∵點B的坐標為（4，1）
∴第一次相切，是經過了3s，
又∵直線l繞點A以每秒鐘旋轉30°的速度順時針勻速旋轉，
∴3s鐘轉了90°，
由題意知，NM=AM=AO+OM=

2

+1，
∴NB=

2

，
∴BP=1，
即d=r=1，
此時，點B到直線的距離等于半徑1，所以直線與⊙B相切．

點評：本題結合函數知識，考查了直線與圓的位置關系，判定直線與圓的位置關系，首先要確定圓心與直線的距離，然后用這個距離與半徑進行比較．