Question

15．已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形固定△AOB，將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）如果△COD轉(zhuǎn)至如圖①點(diǎn)B、O、D共線的位置，判斷并證明四邊形EFGH是怎樣的四邊形．
（2）如果△COD轉(zhuǎn)至如圖②兩邊不共線的位置，以上結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AOB和△COD都是等腰直角三角形，點(diǎn)B、O、D共線，得出AC=BD，AC⊥BD，再根據(jù)三角形中位線定理，得到四邊形EFGH是菱形，且∠EFG=90°，最后得出四邊形EFGH是正方形；
（2）先連接AC、BD，交于點(diǎn)P，BD與CO交于點(diǎn)Q，根據(jù)SAS判定△AOC≌△BOD，得出AC=BD，且AC⊥BD，再運(yùn)用（1）中的方法，判定四邊形EFGH是正方形即可．

解答 解：（1）如圖，四邊形EFGH是正方形．
理由：∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴CO=DO，BO=AO，∠COD=∠AOB=90°，
又∵點(diǎn)B、O、D共線，
∴點(diǎn)A、O、C共線，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴根據(jù)三角形中位線定理，可得
EF=GH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=EH=FG，且EF∥AC，F(xiàn)G∥BD，
∴四邊形EFGH是菱形，∠EFG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；

（2）△COD轉(zhuǎn)至兩邊不共線的位置，四邊形EFGH是正方形．
理由：如圖，連接AC、BD，交于點(diǎn)P，BD與CO交于點(diǎn)Q，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴CO=DO，BO=AO，∠COD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠PCQ=∠ODQ，
又∵∠CQP=∠DQO，
∴∠CPQ=∠DOQ=90°，
∴AC⊥BD，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴根據(jù)三角形中位線定理，可得
EF=GH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=EH=FG，且EF∥AC，F(xiàn)G∥BD，
∴四邊形EFGH是菱形，∠EFG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題以旋轉(zhuǎn)為背景，主要考查了中點(diǎn)四邊形的問題，綜合運(yùn)用了正方形的判定定理，等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形中位線定理，得出四邊形EFGH的四條邊相等，有一個(gè)角是直角．