Question

在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以點O為原點，OA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，另有一邊長為2的等邊△DEF，DE在x軸上（如圖（1）），如果讓△DEF以每秒1個單位的速度向左作勻速直線運(yùn)動，開始時點D與點A重合，當(dāng)點D到達(dá)坐標(biāo)原點時運(yùn)動停止．
（1）設(shè)△DEF運(yùn)動時間為t，△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）探究：在△DEF運(yùn)動過程中，如果射線DF交經(jīng)過O、C、B三點的拋物線于點G，是否存在這樣的時刻t，使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)F與B重合前后及E與A重合前后，分三種情況求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）依題意得D（4-t，0），求出直線OC解析式，根據(jù)DF∥OC確定直線DF解析式，再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等，求出G點縱坐標(biāo)，根據(jù)G點在拋物線上求G點橫坐標(biāo)，代入直線DF解析式求t，判斷是否符號t的取值范圍即可．

解答：解：（1）依題意得OA=5，
當(dāng)0≤t＜1時，s=

3

2

t²，
當(dāng)1≤t＜2時，s=

3

-

3

2

（2-t）²=-

3

2

t²+2

3

t-

3

，
當(dāng)2≤t≤5時，s=

3

；

（2）存在．
依題意，得C（1，

3

），B（5，

3

），拋物線對稱軸為x=3，
拋物線與x軸兩交點坐標(biāo)為O（0，0），（6，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-6），
將C點坐標(biāo)代入，得a=-

3

5

，∴y=-

3

5

x（x-6）=-

3

5

x²+

6 3

5

x，
由C點坐標(biāo)可知，直線OC解析式為y=

3

x，
∵DF∥OC，
∴設(shè)直線DF解析式為y=

3

x+k，
將D（5-t，0）代入得k=

3

（t-5），
∴直線DF：y=

3

x+

3

（t-5），
設(shè)△OAG的OA邊上高為h，由S_△OAG=S_梯形OABC，得

1

2

×5×h=

1

2

×（4+5）×

3

，
解得h=

9 3

5

，
將y=

9 3

5

代入y=-

3

5

x（x-6）中，得x=3，
∴G（3，

9 3

5

），
代入直線DF：y=

3

x+

3

（t-5）中，得t=3.8，
∵0≤t≤5，
∴存在，t=3.8．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角梯形的特點求頂點坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)面積關(guān)系，列方程求解．