Question

在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，另有一邊長(zhǎng)為2的等邊△DEF，DE在x軸上（如圖（1）），如果讓△DEF以每秒1個(gè)單位的速度向左作勻速直線運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．
（1）設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果射線DF交經(jīng)過(guò)O、C、B三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)G，是否存在這樣的時(shí)刻t，使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)F與B重合前后及E與A重合前后，分三種情況求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）依題意得D（4-t，0），求出直線OC解析式，根據(jù)DF∥OC確定直線DF解析式，再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等，求出G點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)G點(diǎn)在拋物線上求G點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入直線DF解析式求t，判斷是否符號(hào)t的取值范圍即可．
解答：解：（1）依題意得OA=5，
當(dāng)0≤t＜1時(shí)，s=t²，
當(dāng)1≤t＜2時(shí)，s=-（2-t）²=-t²+2t-，
當(dāng)2≤t≤5時(shí)，s=；

（2）存在．
依題意，得C（1，），B（5，），拋物線對(duì)稱軸為x=3，
拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），（6，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-6），
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a=-，∴y=-x（x-6）=-x²+x，
由C點(diǎn)坐標(biāo)可知，直線OC解析式為y=x，
∵DF∥OC，
∴設(shè)直線DF解析式為y=x+k，
將D（5-t，0）代入得k=（t-5），
∴直線DF：y=x+（t-5），
設(shè)△OAG的OA邊上高為h，由S_△OAG=S_梯形OABC，得
×5×h=×（4+5）×，
解得h=，
將y=代入y=-x（x-6）中，得x=3，
∴G（3，），
代入直線DF：y=x+（t-5）中，得t=3.8，
∵0≤t≤5，
∴存在，t=3.8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角梯形的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)面積關(guān)系，列方程求解．