Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD中，AB=10cm，BD=12cm，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，直線MN以1cm/s從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持MN⊥BD，垂足是點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，交BC于點(diǎn)Q．（0＜t＜6）
（1）求線段PQ的長(zhǎng)；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）設(shè)△MQP的面積為y（單位：cm2），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某時(shí)刻t，使線段MQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=10，OB=OD=6，BD⊥AC，

在Rt△BOC中，OC= = =8，

∴sin∠OBC= = ，

在Rt△PBQ中，∵PB=12﹣t，

sin∠PBQ= = ，

∴PQ= （12﹣t）= ﹣ t（0＜t＜6）

（2）

解：如圖2中，作QH⊥MN于H．

∵∠QPH+∠BPQ=90°，∠BPQ+∠CBO=90°，

∴∠QPH=∠CBO，

∴QH=PQsin∠QPH= （ ﹣ t），

易知PM= t，

∴y= PMQH= t （ ﹣ t）= ﹣ t（0＜t＜6）

（3）

解：如圖3中，連接QN．

當(dāng)MQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，易證△BOQ≌△DOM，

∴BQ=DM，OM=OQ，

∵PM=PN，

∴OP∥QN，NQ=2OP，

∴QN⊥MN，QN= （ ﹣ t），

∴ （ ﹣ t）=2（6﹣t），

解得t= ，

∴t= 時(shí)，MQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)O

【解析】【（1）如圖1中，在Rt△BOC中，OC= = =8，推出sin∠OBC= = ，在Rt△PBQ中，由PB=12﹣t推出sin∠PBQ= = ，即可求出PQ．（2）如圖2中，作QH⊥MN于H．求出QH、PM即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，連接QN只要證明QM經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，OP是△MQN的中位線，得到QN=2OP，由此列出方程即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．