Question

如圖，點D是線段AB的中點，點C是線段AB的垂直平分線上的任意一點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：CE=CF；
（2）點C運動到什么位置時，四邊形CEDF成為正方形？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CD垂直平分線AB，
∴AC=CB．
又∵AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC與△DFC中，
∵，
∴△DEC≌△DFC．（ASA）
∴CE=CF．

（2）解：當CD=AB時，四邊形CEDF為正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四邊形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四邊形ECFD是正方形．
分析：（1）由CD垂直平分線AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可證得△ACD≌△BCD（ASA），∴CE=CF；
（2）因為有三個角是直角，且鄰邊相等的四邊形是正方形．所以當CD=AB時，四邊形CEDF為正方形．
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定等知識點．