Question

已知：如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=3

3

cm．以O為坐標原點，OB為x軸建立平面直角坐標系．設P是AB邊上的動點，從點A向B點勻速運動，速度為1cm/秒；Q是OB上的動點，從點O向B點勻速運動，速度為2cm/秒；當任意一點到達點B，運動隨之停止．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）設P，Q移動時間為t秒，建立△OPQ的面積S（cm²）與t（秒）之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當PQ=QB時，求t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得正切函數(shù)，根據(jù)特殊角的正切函數(shù)值，可得角的度數(shù)；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)線段的和差，可得PB的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得PC的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案，根據(jù)路程除以速度，可得P點所用時間，Q點所用時間，可得定義域；
（3）根據(jù)線段的和差，可得PB，QB的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得HB的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得HB與QB的關系，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）由正切函數(shù)，得
tan∠B=

OA

OB

=

3

3 3

=

3

3

，
得∠B=30°；
（2）如圖1：

作PC⊥OB與P點，
A（0，3），B（3

3

，0）由勾股定理，得
AB=

OA2+OB2

=

32+(3 3 )2

=6，
P的速度是1cm/秒，AP=t，PB=6-t；
PC=PB•sin∠B=（6-t）sin30°=3-

1

2

t；
Q是OB上的動點，從點O向B點勻速運動，速度為2cm/秒，得
OQ=2t，
S=

1

2

OQ•PC=

1

2

×2t（3-

1

2

t）=-

1

2

t²+3t，
p行全程用時6秒，Q行全程用時

3 3

2

秒，
故Q先到達B點，運動即停止，P并未到達B點，
∴0≤t≤

3 3

2

；
（3）如圖2：作QH⊥PB．
，
由QB=QP，得三角形PQB是等腰三角形，即∠QPB=∠PBQ=30°，∠PQB=120°，
HB=

PB

2

，
PB=6-t，
HB=

6-t

2

，
QB=3

3

-2t，
cos∠QBH=

HB

QB

=

3

2

，即HB=

3

2

QB，

6-t

2

=

3

2

（3

3

-2t）．
解得t=

6 3 +3

11

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了銳角三角函數(shù)，三角形面積公式，等腰三角形的性質(zhì)．