Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，猜想線段DE、AD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系（不用證明）
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：探究型

分析：（1）先利用等角的余角證明∠DAC=∠ECB，然后根據(jù)“AAS”證明△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，于是可得DE=CD+CE=BE+AD；
（2）與（1）一樣根據(jù)“AAS”證明△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，于是可得DE=CD-CE=BE-AD．

解答：解：（1）DE=AD+BE．理由如下：如圖1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，

∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD+CE=BE+AD；

（2）DE=BE-AD．理由如下：如圖2，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，

∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．