Question

【題目】在矩形中，，，是射線上的點，連接，將沿直線翻折得．

（1）如圖①，點恰好在上，求證：∽；

（2）如圖②，點在矩形內，連接，若，求的面積；

（3）若以點、、為頂點的三角形是直角三角形，則的長為 　 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的面積為；（3）、5、15、

【解析】

（1）先說明∠CEF=∠AFB和，即可證明∽；

（2）過點作交與點，交于點，則；再結合矩形的性質，證得△FGE∽△AHF，得到AH=5GF；然后運用勾股定理求得GF的長，最后運用三角形的面積公式解答即可；

（3）分點E在線段CD上和DC的延長線上兩種情況，然后分別再利用勾股定進行解答即可．

（1）解：∵矩形中，

∴

由折疊可得

∵

∴

∴

在和中

∵，

∴∽

（2）解：過點作交與點，交于點，則

∵矩形中，

∴

由折疊可得：，，

∵

∴

∴

在和中

∵

∴∽

∴

∴

∴

在中，

∵

∴

∴

∴的面積為

（3）設DE=x，以點E、F、C為頂點的三角形是直角三角形，則：

①當點E在線段CD上時，∠DAE<45°，

∴∠AED>45°，由折疊性質得：∠AEF=∠AED>45°，

∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，

∴∠CEF<90°，

∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，

a,當∠EFC=90°時，如圖所示:

由折疊性質可知，∠AFE=∠D=90°，

∴∠AFE+∠EFC=90°，

∴點A，F，C在同一條線上，即：點F在矩形的對角線AC上，

在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根據(jù)勾股定理得，AC=，

由折疊可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，

∴CF=AC-AF=-5，

在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，

∴x2+（-5）2=（3-x）2，解得x=即：DE=

b,當∠ECF=90°時，如圖所示: 點F在BC上，由折疊知，EF=DE=x，AF=AD=5，

在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF==4，

∴CF=BC-BF=1，

在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2=EF2，

（3-x）2+12=x2,解得x=,即：DE=；

②當點E在DC延長線上時，CF在∠AFE內部，而∠AFE=90°，

∴∠CFE<90°，

∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，

a、當∠CEF=90°時，如圖所示

由折疊知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，

∴四邊形AFED是正方形，

∴DE=AF=5；

b、當∠ECF=90°時，如圖所示:

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴點F在CB的延長線上，

∴∠ABF=90°，由折疊知，EF=DE=x，AF=AD=5，

在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF==4，

∴CF=BC+BF=9，

在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2=EF2，

∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，

故答案為、、5、15．