Question

【題目】如圖1，拋物線的頂點為點，與軸的負半軸交于點，直線交拋物線W于另一點，點的坐標為．

（1）求直線的解析式；

（2）過點作軸，交軸于點，若平分，求拋物線W的解析式；

（3）若，將拋物線W向下平移個單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點為，與軸負半軸的交點為，與射線的交點為．問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）恒為定值．

【解析】

（1）由拋物線解析式可得頂點A坐標為（0，-2），利用待定系數(shù)法即可得直線AB解析式；

（2）如圖，過點作于，根據(jù)角平分線的性質可得BE=BN，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE可證明，設BE=x，BD=y，根據(jù)相似三角形的性質可得CE=2x，CD=2y，根據(jù)勾股定理由得y與x的關系式，即可用含x的代數(shù)式表示出C、D坐標，代入y=ax2-2可得關于x、a的方程組，解方程組求出a值即可得答案；

（3）過點作于點，根據(jù)平移規(guī)律可得拋物線W1的解析式為y=x2-2-m，設點的坐標為（t，0）（t＜0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式為y=x2-t2，聯(lián)立直線BC解析式可用含t的代數(shù)式表示出點C1的坐標，即可得，可得∠，根據(jù)拋物線W的解析式可得點D坐標，聯(lián)立直線BC與拋物線W的解析式可得點C、A坐標，即可求出CG、DG的長，可得CG=DG，∠CDG=∠，即可證明，可得，，由∠CDG=45°可得BF=DF，根據(jù)等腰三角形的性質可求出DF的長，利用勾股定理可求出CD的長，即可求出CF的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得答案．

（1）∵拋物線W：的頂點為點，

∴點，

設直線解析式為，

∵B（1，0），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：．

（2）如圖，過點作于，

∵平分，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

設，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴點，點，

∴點，點是拋物線W：上的點，

∴，

∵x＞0，

∴，

解得：(舍去)，，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為：．

（3）恒為定值，理由如下：

如圖，過點作軸于H，過點作軸G，過點作于點，

∵a=，

∴拋物線W的解析式為y=x2-2，

∵將拋物線W向下平移m個單位，得到拋物線，

∴拋物線的解析式為：，

設點的坐標為，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為：，

∵拋物線與射線的交點為，

∴，

解得：，(不合題意舍去)，

∴點的坐標，

∴，

∴，

∴，且軸，

，

∵與軸交于點，

∴點，

∵與交于點，點，

∴，

解得：或，

∴點，A（0，-2），

∴，

∴，且軸，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵點，點，

∴，

∴，

∴，

∴恒為定值．