Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y1=ax2+bx（a≠0），與x軸正半軸交于點(diǎn)A1（2，0），頂點(diǎn)為P1 ， △OP1A1為正三角形，現(xiàn)將拋物線y1=ax2+bx（a≠0）沿射線OP1平移，把過點(diǎn)A1時(shí)的拋物線記為拋物線y2 ， 記拋物線y2與x軸的另一交點(diǎn)為A2；把拋物線y2繼續(xù)沿射線OP1平移，把過點(diǎn)A2時(shí)的拋物線記為拋物線y3 ， 記拋物線y3與x軸的另一交點(diǎn)為A3；…．；把拋物線y2015繼續(xù)沿射線OP1平移，把過點(diǎn)A2015時(shí)的拋物線記為拋物線y2016 ， 記拋物線y2016與x軸的另一交點(diǎn)為A2016 ， 頂點(diǎn)為P2016 ． 若這2016條拋物線的頂點(diǎn)都在射線OP1上．

（1）①求△OP1A1的面積；②求a，b的值；
（2）求拋物線y2的解析式；
（3）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A2016以及點(diǎn)P2016坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①過點(diǎn)P1作作P1B1⊥x軸，垂足為B1．

∵△OP1A1為正三角形，

∴∠P1OA1=60°，P1O=P1A1．

又∵P1B1⊥x軸，

∴0B1=B1A1=1．

∴P1B1=OP1× =2× = ．

∴P1（1， ），△OP1A1的面積= OA1P1B1= ×2× = ．

②∵將點(diǎn)A1（2，0）、P1（1， ）在拋物線y1上，

∴ ，解得：a=﹣ ，b=2

（2）

解：設(shè)直線OP1的解析式為y=kx．

∵將P1（1， ）代入得：k= ，

∴直線OP1的解析式為y= x．

∵點(diǎn)P2在直線OP1上，

∴設(shè)點(diǎn)P2（a， ）．

∴y2=﹣ （x﹣a）2+ a．

∵將點(diǎn)A1的坐標(biāo)代入得：﹣ （2﹣a）2+ a=0，解得：a1=1（舍去），a2=4，

∴y2=﹣ （x﹣4）2+4 ，整理得：y2=﹣ x2+8 x﹣12

（3）

解：∵a2=4，

∴P2（4，4 ）．

∴點(diǎn)A1與D點(diǎn)A2關(guān)于x=4對(duì)稱，

∴點(diǎn)A2（6，0）．

設(shè)P3（b， ）則y3=﹣ （x﹣b）2+ b．

∵將A2（6，0）代入得﹣ （6﹣b）2+ b=0，解得：b1=4（舍去），b2=9，

∴P3（9，9 ）．

∵A2（6，0），點(diǎn)A2與A3關(guān)于x=9對(duì)稱，

∴A3（12，0）．

P1（1， ），A1（2，0），

P2（4，4 ），A2（6，0），4=22，6=2×3；

P3（9，9 ），A3（12，0），9=32，12=3×4；

…

P2016（4064256，4064256 ），A2016（4066272，0）

【解析】（1）①過點(diǎn)P1作作P1B1⊥x軸，垂足為B1 ． 由等邊三角形的性質(zhì)可知可求得P1B1的長度，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得△OP1A1的面積；②將點(diǎn)A1（2，0）、P1（1， ）代入拋物線的解析式，即可求得a、b的值；（2）先利用待定系數(shù)法求得直線OP1的解析式，然后設(shè)點(diǎn)P2（a， ）．則y2=﹣ （x﹣a）2+ a，接下來，將點(diǎn)A1的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；（3）由a2=4，可求得點(diǎn)P2（4，4 ），然后依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)A2（6，0），接下來，再求得P3（9，9 ），A3（12，0），最后觀察所得結(jié)果找出其中的規(guī)律，依據(jù)規(guī)律可求得問題的答案．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)與式的規(guī)律，掌握先從圖形上尋找規(guī)律，然后驗(yàn)證規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合尋找規(guī)律即可以解答此題．