Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．

（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠ACB，∠B+∠BAC=90°，∠DCA+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴△ABC∽△ACD

（2）解：∵△ABC∽△ACD，

∴ = ，

∴AC2=ADAB=6×8=48，

∴CD= = =2 ，

∴S△ABC= ABCD= × =8 ，

∴S陰=S半圓﹣S△ABC=8 ．

【解析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證明．（2）先利用△ABC∽△ACD，得AC2=ADAB=48，再利用勾股定理求出CD，根據(jù)S陰=S半圓﹣S△ABC即可解決問題．
【考點精析】利用扇形面積計算公式和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．