Question

已知：如圖，拋物線C₁：交y軸交于點B，交x軸于點A、E（點E在點A的右邊）．且連接AB=，cot∠ABO=3，Q（-2，-5）在C₁上．

（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）若一個動點P自OB的中點H出發(fā)，先到達x軸上某點（設為N），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點K）最后到達點B，求使點P運動的總路徑最短的點N，點K的坐標，并求出這個最短總路徑的長；
（3）設拋物線C₁的對稱軸與x軸交于點F，頂點為D，另一條拋物線C₂經(jīng)過點E（拋物線C₂與拋物線C₁不重合）且頂點為M（a，b）b＜0，對稱軸與x軸相交于點G，且以M、G、E為頂點的三角形與以D、E、F為頂點的三角形全等，求a、b的值（只需寫結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

解：（1）∵cot∠ABO=3，
∴設OA=x，OB=3x，
則在Rt△AOB中，AB===x，
∵AB=，
∴x=1，
∴OA=1，OB=3，
∴點A（-1，0），B（0，3），
設拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
∴拋物線C₁的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵OB=3，
∴OB的中點H的坐標為（0，），
∴點H關于x軸的對稱點H′的坐標為（0，-），
∵拋物線C₁的對稱軸為直線x=-=1，
∴點B關于對稱軸的對稱點B′（2，3），
連接B′H′，與x軸的交點即為N，與對稱軸的交點即為K，
設直線B′H′的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線B′H′的解析式為y=x-，
令y=0，則x-=0，
解得x=，
∴點N的坐標為（，0），
當x=1時，y═×1-=，
∴點K的坐標為（1，），
B′H′==，
即點P運動的最短總路徑長；

（3）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點E的坐標為（3，0），
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4），
∴DF=4，EF=3-1=2，
∵以M、G、E為頂點的三角形與以D、E、F為頂點的三角形全等，
∴①EG與DF是對應邊時，EG=DF=4，MG=EF=2，
若點G在點E的左邊，則OG=EG-OE=4-3=1，
∴點M的坐標為M₁（-1，-2），
此時a=-1，b=-2，
若點G在點E的右邊，則OG=EG+OE=4+3=7，
∴點M的坐標為M₂（7，-2），
此時a=7，b=-2；
②EG與EF是對應邊時，EG=EF=2，MG=DF=4，
若點G在點E的左邊，則OG=OE-EG=3-2=1，
∴點M的坐標為M₃（1，-4），
此時a=1，b=-4，
若點G在點E的右邊，則OG=EG+OE=2+3=5，
∴點M的坐標為M₄（5，-4），
此時a=5，b=-4．
分析：（1）根據(jù)cot∠ABO=3，設OA=x，OB=3x，在Rt△AOB中，利用勾股定理列式求出x的值，從而得到點A、B的坐標，然后設拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx+c，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，找出點B關于對稱軸的對稱點B′，點H關于x軸的對稱點H′，連接B′H′與x軸的交點即為N，與對稱軸的交點即為K，然后利用待定系數(shù)法求出直線B′H′的解析式，再令y=0求出點N的坐標，把拋物線對稱軸的x的值代入求出點K的坐標，利用兩點間的距離公式列式求出B′H′，即最短路線的長；
（3）先利用拋物線C₁的解析式求出點E的坐標，求出頂點D的坐標，從而得到EF、DF的長，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等，分EG與DF是對應邊，EG與EF是對應邊，點G在點E的左邊與右邊分別求出OG、MG的長度，然后寫出點M的坐標，即可得到a、b的值．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（2）利用軸對稱確定最短路線問題確定出點N、K的位置是解題的關鍵，（3）主要利用了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．