Question

【題目】已知:如圖,直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C的拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點(diǎn)B(2，0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D是拋物線在第三象限圖象上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)D,使得△DAC的面積最大,若存在,請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E,交AC于F,若AC恰好將△ADE的面積分成1:4兩部分,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，D,最大值為；（3）D

【解析】試題分析：（1）利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入AC求出，△DAC的面積=△DAF的面積+△DFC的面積,即可求出面積的最大值；（3）AC恰好將△ADE的面積分成1:4兩部分，所以出現(xiàn)兩種情況：DF:EF=1:4， DF:EF=4:1，分類討論即可.

試題解析：

(1)在中,當(dāng),即點(diǎn)A的坐標(biāo)為

將A,B代入得

解得

∴拋物線的解析式為:

(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為

∴DF=

∴

∵拋物線開口向下

∴當(dāng)時(shí), 存在最大值

又∵當(dāng)時(shí),

∴存在點(diǎn)D,使得△ADC的面積最大,最大值為

(3)由題意可得△ADE的面積分成1:4兩部分即是點(diǎn)F將DE分成1:4兩部分

①當(dāng)DF:EF=1:4時(shí)

解得或 (不合題意,舍去)

當(dāng)時(shí),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為

②當(dāng)DF:EF=4:1時(shí)

解得 (不合題意,舍去)或 (不合題意,舍去)

綜上所述存在點(diǎn)D使得AC恰好將△ADE的面積分成1:4兩部分