【題目】如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸正半軸交于點C,拋物線的頂點為P,對稱軸為直線,且OC=3OA.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D(2,m)在拋物線上,點E在直線AP上,使DE⊥OE,求點E的橫坐標(biāo);
(3)如圖2,連接BC與拋物線的對稱軸交于點F,在拋物線上是否存在點G,使△GPF與△GBF的面積相等,若存在,求出點G坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為:.
(2)E點的橫坐標(biāo)為
(3)理由見詳解.
【解析】
(1)利用拋物線的對稱軸方程求出b,利用OC=3OA確定c的值,從而得到拋物線解析式.
(2)先求出D點坐標(biāo)為(2,3),則AP上一點E,作EM⊥OB,DN⊥EM,則△EMO∽△DNE,得,設(shè)E(x,y),列出方程即可解決問題.
(3)設(shè)G(m,-m2+2m+3),根據(jù),列出方程即可解決問題,當(dāng)G′在x軸下方時,方法類似.
解(1)∵拋物線的對稱軸為直線x=1,
∴ ,解得b=2
∴拋物線的解析式為:
設(shè)A點坐標(biāo)為:(a,0),(a<0),C點坐標(biāo)為:(0,c), (c>0)則有:
解之得:(取負(fù)數(shù))
又∵OC=3OA
∴
∴
解之得:
∴拋物線的解析式為:
(2)
將D(2,m)代入拋物線的解析式為:得:
∴D點坐標(biāo)為(2,3)
如圖1,點E在直線AP上,DE⊥OE,作EM⊥OB,DN⊥EM,
則△EMO∽△DNE,
∴ ,
設(shè)E(x,y),
則 ,
∴
又∵,
解得:,
∴E點的橫坐標(biāo)為
;
(3)
由得F(1,2),B(3,0),P(1,4)
存在點G,使△GPF與△GBF的面積相等.
如圖2所示,設(shè)G(m,-m2+2m+3),
∵,
∴ ,
解得或,
當(dāng)時,
∴
當(dāng)時,
∴點G坐標(biāo)(,2),或(,2)
當(dāng)G′在x軸下方時,且在對稱軸的右側(cè)時,有
,
解得或(舍棄),
∴
∴點G坐標(biāo)(,),
當(dāng)G′在x軸下方時,且在對稱軸的左側(cè)時,有
解得: ,則,不符合題意舍去.
∴使△GPF與△GBF的面積相等點G的坐標(biāo)為,(,2),(,2)(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計,盆景的平均每盆利潤是160元,花卉的平均每盆利潤是19元,調(diào)研發(fā)現(xiàn):
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.
小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1,W2(單位:元)
(1)用含x的代數(shù)式分別表示W1,W2;
(2)當(dāng)x取何值時,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大,最大總利潤是多少?
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【題目】(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;
(2)已知:兩相似三角形對應(yīng)高的比為3:10,且這兩個三角形的周長差為560cm,求它們的周長.
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【題目】如圖,在△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E,交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F.
(1)探究線段EF與OC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
(2)當(dāng)點O運動到何處,且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?請說明理由.
(3)當(dāng)點O在邊AC上運動時,四邊形BCFE________是菱形或正方形(填“可能”或“不可能”).請說明理由.
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【題目】某賓館擁有客房100間,經(jīng)營中發(fā)現(xiàn):每天入住的客房數(shù)y(間)與房價x(元)(180≤x≤300)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分對應(yīng)值如下表:
x(元) | 180 | 260 | 280 | 300 |
y(間) | 100 | 60 | 50 | 40 |
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知每間入住的客房,賓館每日需支出各種費用100元;每間空置的客房,賓館每日需支出各種費用60元.當(dāng)房價為多少元時,賓館當(dāng)日利潤最大?求出最大利潤.(賓館當(dāng)日利潤=當(dāng)日房費收入-當(dāng)日支出)
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的與邊BC,AC分別交于D、E,DF是的切線,交AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若AE=4,DF=3,求的半徑.
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【題目】如圖,△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(0,1)、B(3,3)、C(1,3).
(1) 畫出△ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形△A1B1C1
(2) 畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2,直接寫出點C2的坐標(biāo)為______.
(3) 若△ABC內(nèi)一點P(m,n)繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點為Q,則Q的坐標(biāo)為______.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c開口向上,與x軸交于點A、B,與y軸交于點C
(1) 如圖1,若A (1,0)、C (0,3)且對稱軸為直線x=2,求拋物線的解析式
(2) 在(1)的條件下,如圖2,作點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點D,連接AD、BD,在拋物線上是否存在點P,使∠PAD=∠ADB,若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由
(3) 若直線l:y=mx+n與拋物線有兩個交點M、N(M在N的左邊),Q為拋物線上一點(不與M、N重合),過點Q作QH平行于y軸交直線l于點H,求的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人分別站在相距 6 米的 A , B 兩點練習(xí)打羽毛球,已知羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分,甲在離地面 1 米的C 處發(fā)出一球,乙在離地面 1.5 米的 D 處成功擊球,球飛行過程中的最高點 H 與甲的水平距離 AE 為 4 米,現(xiàn)以 A 為原點,直線 AB 為 x 軸, 建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示).
(1)求羽毛球飛行的路線所在的拋物線的表達(dá)式;
(2)求羽毛球飛行的最高高度。
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