【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖①,連接AC,點(diǎn)P在拋物線上,且滿足∠PAB=2∠ACO.求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖②,點(diǎn)Q為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),直線AQ、BQ分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N.請(qǐng)問(wèn)DM+DN是否為定值?如果是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x﹣3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,或,;(3)為定值8.
【解析】
(1)把點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得、的值.
(2)點(diǎn)可以在軸上方或下方,需分類討論.①若點(diǎn)在軸下方,延長(zhǎng)到,使構(gòu)造等腰,作中點(diǎn),即有,利用的三角函數(shù)值,求、的長(zhǎng),進(jìn)而求得的坐標(biāo),求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立,即求出點(diǎn)坐標(biāo).②若點(diǎn)在軸上方,根據(jù)對(duì)稱性,一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立,即求出點(diǎn)坐標(biāo).
(3)設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為,用表示直線、的解析式,把分別代入即求得點(diǎn)、的縱坐標(biāo),再求、的長(zhǎng),即得到為定值.
解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),C(0,﹣3)
解得:
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x﹣3
(2)①若點(diǎn)P在x軸下方,如圖1,
延長(zhǎng)AP到H,使AH=AB,過(guò)點(diǎn)B作BI⊥x軸,連接BH,作BH中點(diǎn)G,連接并延長(zhǎng)AG交BI于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)H作HI⊥BI于點(diǎn)I
∵當(dāng)x2+2x﹣3=0,解得:x1=﹣3,x2=1
∴B(﹣3,)
∵A(1,0),C(0,﹣3)
,,,
中,,
∵AB=AH,G為BH中點(diǎn)
∴AG⊥BH,BG=GH
∴∠BAG=∠HAG,即∠PAB=2∠BAG
∵∠PAB=2∠ACO
∴∠BAG=∠ACO
中,,
中,,,
,
,,即,
設(shè)直線解析式為
解得:
直線
解得:(即點(diǎn),
,;
②若點(diǎn)在軸上方,如圖2,
在上截取,則與關(guān)于軸對(duì)稱
,
設(shè)直線解析式為
解得:
直線
解得:(即點(diǎn),
,.
綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為,或,.
(3)為定值,
拋物線的對(duì)稱軸為:直線
,
設(shè),
設(shè)直線解析式為
解得:
直線
當(dāng)時(shí),
設(shè)直線解析式為
解得:
直線
當(dāng)時(shí),
,為定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知、、、、五個(gè)點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)其中的三個(gè)點(diǎn).
(1)求證:點(diǎn)、不能同時(shí)在拋物線上;
(2)點(diǎn)在拋物線上嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在坡角為30°的山坡上有一豎立的旗桿AB,其正前方矗立一墻,當(dāng)陽(yáng)光與水平線成45°角時(shí),測(cè)得旗桿AB落在坡上的影子BD的長(zhǎng)為8米,落在墻上的影子CD的長(zhǎng)為6米,求旗桿AB的高(結(jié)果保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某班甲、乙、丙三位同學(xué)最近5次數(shù)學(xué)成績(jī)及其所在班級(jí)相應(yīng)平均分的折線統(tǒng)計(jì)圖,則下列判斷錯(cuò)誤的是( ).
A. 甲的數(shù)學(xué)成績(jī)高于班級(jí)平均分,且成績(jī)比較穩(wěn)定
B. 乙的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诎嗉?jí)平均分附近波動(dòng),且比丙好
C. 丙的數(shù)學(xué)成績(jī)低于班級(jí)平均分,但成績(jī)逐次提高
D. 就甲、乙、丙三個(gè)人而言,乙的數(shù)學(xué)成績(jī)最不穩(wěn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,O為Rt△ABC斜邊中點(diǎn),AB=10,BC=6,M,N在AC邊上,∠MON=∠B,若△OMN與△OBC相似,則CM=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合),連接PB、PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn),AD與EF交于點(diǎn)M;
(1)如圖1,當(dāng)AB=AC時(shí),求證:四邊形EGHF是矩形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),在不添加任何輔助線的條件下,寫出所有與△BPE面積相等的三角形(不包括△BPE本身).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某環(huán)衛(wèi)公司承包了市區(qū)兩個(gè)片區(qū)道路的清掃任務(wù),需要購(gòu)買某廠家A,B兩種型號(hào)的馬路清掃車,購(gòu)買5輛A型馬路清掃車和6輛B型馬路清掃車共需171萬(wàn)元;購(gòu)買3輛A型馬路清掃車和12輛B型馬路清掃車共需237萬(wàn)元.
(1)求這兩種馬路清掃車的單價(jià);
(2)恰逢該廠舉行30周年慶,決定對(duì)這兩種馬路清掃車開(kāi)展促銷活動(dòng),具體方案如下:購(gòu)買A型馬路清掃車按原價(jià)的八折銷售,購(gòu)買B型馬上清掃車不超過(guò)10輛時(shí)按原價(jià)銷售,超過(guò)10輛的部分按原價(jià)的七折銷售.設(shè)購(gòu)買x輛A種馬路清掃車需要y1元,購(gòu)買x(x>0)個(gè)B型馬路清掃車需要y2元,分別求出y1,y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若該公司承包的道路清掃面積為118000m2,每輛A型馬路清掃車每天清掃5000m2,每輛B型馬路清掃車每天清掃6000m2,公司準(zhǔn)備購(gòu)買20輛馬路清掃車,且B型馬路清掃車的數(shù)量大于10.請(qǐng)你幫該公司設(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案.請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小雪和小松分別從家和圖書館出發(fā),沿同一條筆直的馬路相向而行.小雪開(kāi)始跑步,中途在某地改為步行,且步行的速度為跑步速度的一半,小雪先出發(fā)5分鐘后,小松才騎自行車勻速回家.小雪到達(dá)圖書館恰好用了35分鐘.兩人之間的距離y(m)與小雪離開(kāi)出發(fā)地的時(shí)間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示,則當(dāng)小松剛到家時(shí),小雪離圖書館的距離為____米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣2,0),B(0,2),C(,0)三點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),連接BP,過(guò)點(diǎn)A作直線BP的垂線交y軸于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)BQ=AP時(shí),求t的值;
(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請(qǐng)直接寫t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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