Question

已知關于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩根為x₁和x₂，且（x₁-2）（x₁-x₂）=0，則k的值是

 

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Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,根的判別式

專題：

分析：先由（x₁-2）（x₁-x₂）=0，得出x₁-2=0或x₁-x₂=0，再分兩種情況進行討論：①如果x₁-2=0，將x=2代入x²+（2k+1）x+k²-2=0，得4+2（2k+1）+k²-2=0，解方程求出k=-2；②如果x₁-x₂=0，那么將x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2代入可求出k的值，再根據(jù)判別式進行檢驗．

解答：解：∵（x₁-2）（x₁-x₂）=0，
∴x₁-2=0或x₁-x₂=0．
①如果x₁-2=0，那么x₁=2，
將x=2代入x²+（2k+1）x+k²-2=0，
得4+2（2k+1）+k²-2=0，
整理，得k²+4k+4=0，
解得k=-2；
②如果x₁-x₂=0，
那么（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=[-（2k+1）]²-4（k²-2）=4k+9=0，
解得k=-

9

4

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又∵△=（2k+1）²-4（k²-2）≥0．
解得：k≥-

9

4

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所以k的值為-2或-

9

4

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故答案為：-2或-

9

4

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點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，根的判別式，注意在利用根與系數(shù)的關系時，需用判別式進行檢驗．