Question

如圖，在△ABC中，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．
（1）t=

 

時(shí)△BEF與△ABC相似？
（2）t=

 

時(shí)△BEF為等腰三角形？
（3）t=

 

時(shí)EF的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）用t表示出BF及BE的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出t的值；
（2）分BF=BE，BF=EF與BE=EF三種情況進(jìn)行討論；
（3）連接AE，根據(jù)EF的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A可知AE=AF，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵F點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng)，
∴BF=10-2t，BE=t，
∴當(dāng)△BEF∽△BCA時(shí)，

BE

BC

=

BF

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，解得t=

30

11

（秒）；
當(dāng)△BEF∽△BAC時(shí)，

BE

AB

=

BF

BC

，即

t

10

=

10-2t

6

，解得t=

50

13

（秒）．
綜上所示，當(dāng)t=

30

11

秒或t=

50

13

秒時(shí)，△BEF與△ABC相似．
故答案為：

30

11

秒或

50

13

秒；

（2）當(dāng)BF=BE時(shí)，
∵BF=10-2t，BE=t，
∴10-2t=t，解得t=

10

3

（秒）；
當(dāng)BF=EF時(shí)，如圖1所示，
過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于點(diǎn)D，則BD=

1

2

BE=

t

2

，
∵AC⊥BC，
∴DF∥AC，
∴cosB=

BD

BF

=

BC

AB

，即

t 2

10-2t

=

6

10

，解得t=

60

17

（秒）；
當(dāng)BE=EF時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，則BD=

1

2

BF=5-t，
∵AC⊥BC，
∴cosB=

BD

BE

=

BC

AB

，即

5-t

t

=

6

10

．解得t=

25

8

（秒）．
綜上所述，t=

10

3

秒或

60

17

秒或

25

8

秒時(shí)，△BEF為等腰三角形．
故答案為：

10

3

秒或

60

17

秒或

25

8

秒；

（3）如圖3所示，連接AE，
∵EF的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A，
∴AE=AF．
∵AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=

102-62

=8cm．
∵AF=2t，CE=6-t，
∴2t=

82+(6-t)2

，解得t=（

4 21

3

-2）秒．
故答案為：（

4 21

3

-2）秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．