Question

如圖1，已知正方形ABCD，將一個(gè)45度角的頂點(diǎn)放在D點(diǎn)并繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交AB邊和BC邊于點(diǎn)E和F，連接EF。求證：EF＝AE+CF
（1） 小明是這樣思考的:延長(zhǎng)BC到G，使得CG＝AE，連接DG，先證△DAE≌△DCG，再證△DEF≌△DGF，請(qǐng)你借助圖2，按照小明的思路，寫(xiě)出完整的證明思路。
（2）劉老師看到這條題目后，問(wèn)了小明兩個(gè)小問(wèn)題：①如果正方形的邊長(zhǎng)和△BEF的面積都等于6，求EF的長(zhǎng)；②將角繞D點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得角的兩邊分別和AB邊延長(zhǎng)線(xiàn)、BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E和F，如圖3所示，猜想EF、AE、CF三線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明。請(qǐng)你幫忙解決。

Answer 1

證明見(jiàn)解析

（1）略（2）①設(shè)EF＝x  由（1）知四邊形DEBG的面積＝正方形ABCD 的面積＝36，又△三角形BEF的面積是6，所以四邊形DEFG的面積為30，因?yàn)椤鱀AE≌△DCG，EF＝FG＝x ，所以三角形DFG的面積為15，所以1/2×6x ＝15 解得x＝5，所以EF＝5
②如圖3，延長(zhǎng)CF到點(diǎn)G，使得CG＝AE,連接DG，易證△DAE≌△DCG 所以∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE+∠CDE＝90度 ， ∴∠CDG+∠CDE＝90度，∵∠EDF＝45度，∴∠GDF＝45度，易證△DFE≌△DFG, ∴FE＝FG , ∴CG-CF＝FG＝EF ∴EF＝AE-CF
（1）延長(zhǎng)BC到G，使得CG=AE，連接DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AD=DC，∠A=∠DCG，證△DAE≌△DCG，推出DE=DG，∠EDF=∠FDG=45°，證△DEF≌△DGF推出EF=FG即可；
（2）①設(shè)EF=x，由（1）知得出四邊形DEBG的面積=正方形ABCD的面積=36，求出△DFG的面積為15，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②延長(zhǎng)CF到點(diǎn)G，使得CG=AE，連接DG，與（1）類(lèi)似求出△DAE≌△DCG，再證△DFE≌△DFG，推出EF=FG即可．