Question

13．我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的四邊形叫做“等對角四邊形”．
（1）已知：四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A=70°，∠B=80°．求∠C、∠D的度數(shù)．
（2）如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD為斜邊AB邊上的中線，過點D作DE⊥CD交AC于點E，求證：四邊形BCED是“等對角四邊形”．
（3）如圖2，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD平分∠ACB，點E在AC上，且四邊形CBDE為“等對角四邊形”，則線段AE的長為1或$\frac{25}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“等對角四邊形”的定義，當四邊形ABCD是“等對角四邊形”時，可分兩種情況進行討論：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，則∠C=70°，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠D；②若∠B=∠D，∠A≠∠C，則∠D=80°，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠C；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD=DB=DC，由等邊對等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根據(jù)“等對角四邊形”的定義，即可證明四邊形BCED是“等對角四邊形”；
（3）根據(jù)“等對角四邊形”的定義，當四邊形CBDE為“等對角四邊形”時，可分兩種情況進行討論：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，根據(jù)AAS證明△CDE≌△CDB，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得出EC=BC=3，那么AE=AC-EC=1；②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，先利用勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，再根據(jù)角平分線定理得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，求出AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$，再證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出AE．

解答 （1）解：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，
則∠C=70°，∠D=360°-70°-70°-80°=140°；
②若∠B=∠D，∠A≠∠C，
則∠D=80°，∠C=360°-80°-80°-70°=130°；

（2）證明：如圖1，在Rt△ABC中，
∵CD為斜邊AB邊上的中線，
∴AD=DB=DC，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠B+∠ACD=90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD=90°，
∴∠CED=∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四邊形BCED是“等對角四邊形”；

（3）解：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如圖2．
在△CDE與△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠B}\\{∠DCE=∠DCB}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDB，
∴EC=BC=3，
∴AE=AC-EC=4-3=1；
②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，如圖3．
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$．
在△ADE與△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADE=∠ACB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{5}$=$\frac{\frac{20}{7}}{4}$，
∴AE=$\frac{25}{7}$．
綜上所述，線段AE的長為1或$\frac{25}{7}$．
故答案為1或$\frac{25}{7}$．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，理解“等對角四邊形”的定義并且利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．