【題目】如圖,點C為ABD外接圓上的一動點點C不在上,且不與點B,D重合ACB=ABD=45°

1求證:BD是該外接圓的直徑;

2連結(jié)CD,求證:AC=BC+CD;

3ABC關于直線AB的對稱圖形為ABM,連接DM,試探究,三者之間滿足的等量關系,并證明你的結(jié)論.

【答案】1詳見解析;2詳見解析;3DM2=BM2+2MA2,理由詳見解析.

【解析】

試題分析:1易證ABD為等腰直角三角形,即可判定BD是該外接圓的直徑;2如圖所示作CAAE,延長CB交AE于點E,再證ACE為等腰直角三角形,可得AC=AE,再由勾股定理即可得;利用SAS判定ABE≌△ADC,可得BE=DC,所以CE=BE+B,所以C=DC+BC=;3延長MB交圓于點E,連結(jié)AE、DE,因BEA=ACB=BMA=45°,在MAE中有MA=AE,MAE=90°,由勾股定理可得,再證BED=90°,在RTMED中,有,所以.

試題解析:1弧AB=弧AB, ∴∠ADB=ACB

∵∠ACB=ABD=45° ∴∠ABD=ADB=45°

∴∠BAD=90° ∴△ABD為等腰直角三角形

BD是該外接圓的直徑

2如圖所示作CAAE,延長CB交AE于點E

∵∠ACB=45°,CAAE

∴△ACE為等腰直角三角形 AC=AE

由勾股定理可知CE2=AC2+AE2=2AC2

1可知ABD 為等腰直角三角形

AB=AD BAD=90° ∵∠EAC=90°

∴∠EAB+BAC=DAC+BAC ∴∠EAB=DAC

ABE和ADC中

∴△ABE≌△ADCSAS

BE=DC

CE=BE+BC=DC+BC=

3DM2=BM2+2MA2

延長MB交圓于點E,連結(jié)AE、DE

∵∠BEA=ACB=BMA=45°

MAE中有MA=AE,MAE=90°

AC=MA=AE

=

=

=

=

DE=BC=MB

BD為直徑

∴∠BED=90°

在RTMED中,有

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