如圖,已知反比例函數(shù)y=過點(diǎn)P, P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3-m,2m),m是分式方程的解,PA⊥x軸于點(diǎn)A,PB⊥y軸于點(diǎn)B.
(1)試判斷四邊形PAOB的形狀,并說明理由.

(2)連結(jié)AB,E為AB上的一點(diǎn),EF⊥BP于點(diǎn)F,G為AE的中點(diǎn),連結(jié)OG、FG,試問FG和OG有何數(shù)量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并證明.

(3)若M為反比例函數(shù)y=在第三象限內(nèi)的一動點(diǎn),過M作MN⊥x軸于交AB的延長線于點(diǎn)N,是否存在一點(diǎn)M使得四邊形OMNB為等腰梯形?若存在,請求出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)四邊形PAOB是正方形.理由如下
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°
∴四邊形PAOB是矩形                                        
m-3+m-2=-3
解得:m=1
經(jīng)檢驗(yàn)知m=1是原分式方程的解
∴P(2,2)                               
∴PB=PA=2
∴四邊形PAOB是正方形. 
(2)OG=FG.證明如下:
延長FE交OA于點(diǎn)H,連結(jié)GH

∵∠HFB =∠FBO=∠BOH=90°
∴BOHF是矩形
∴BF=OH
∵∠FBE=∠FEB=45°
∴EF= BF=OH                 
∵∠EHA=90°,G為AE的中點(diǎn)
∴GH=GE=GA                                   
∴∠GEH=∠GAH=45°
∴∠GEF=∠GHO                       
∴△GEF≌△GHO
∴OG=FG                                       
(3)由題意知:∠BNM=45°             

∵要讓四邊形OBNM為等腰梯形
∴∠BNM=∠NMO=45°                                                
∴設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x),代入
∴x=±2
∵M(jìn)是第三象限上一動點(diǎn)
∴x=-2
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-2)                                
(1)解出分式方程得到m的值,進(jìn)而可判斷出四邊形PAOB的形狀;
(2)應(yīng)猜想相等,找這兩條線段所在三角形全等的條件;
(3)易知∠BNM=45°,要想為等腰梯形,∠OMN=45°,那么點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)相等.代入反比例函數(shù)即可.
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;
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