Question

7．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，DE過點(diǎn)G且平行于BC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，那么$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．（用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$表示）

Answer 1

分析 先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)（重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1），求得$\overrightarrow{DE}$與$\overrightarrow{BC}$的數(shù)量關(guān)系，然后再根據(jù)$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{DE}$與$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：連接AG，并延長AG交BC于點(diǎn)F．

∵DE∥BC，
∴AG：AF=DE：BC；
又∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴AG：AF=2：3，
∴DE：BC=2：3；即$\overrightarrow{DE}$：$\overrightarrow{BC}$=2：3；
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形的重心、平面向量．在解答此題時(shí)要注意兩點(diǎn)：①三角形的重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，即AG：GF=2：1，而不是AG：AF=2：1；②平面向量是有方向的．