Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB = 2，∠B = 30°，C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．

（1）弦長(zhǎng)AB = ____________（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）當(dāng)∠D = 20°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)；

（3）當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí)，以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）2（2）100°（3）AC=．

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，則AE=BE=AB，在Rt△BOE中，利用∠B的余弦可求出BE的長(zhǎng)，然后可得出AB的長(zhǎng)；（2）連接OA，根據(jù)OA=OD=OB,可得∠D =∠DAO =" 20°," ∠B=∠BAO = 30°,然后可求出∠DAB = 50°,再利用圓周角定理可得∠BOD=2∠DAB = 100°；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)可得∠BCO=

∠A+∠D，然后分析可得出只能是△DAC∽△BOC，此時(shí)∠DCA=∠BCO=90°，∠DAC=60°，在Rt△BOE中，利用∠DAC的三角函數(shù)值可求出AC的長(zhǎng)．

試題解析：解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，

則AE=BE=AB，∠OEB=90°，

∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OBcos∠B=2×=，

∴AB=2；故答案為：2；

（2）連接OA，

∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此時(shí)∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=．

∴當(dāng)AC的長(zhǎng)度為時(shí)，以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、0為頂點(diǎn)的三角形相似．