Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)CD，D為切點(diǎn)，點(diǎn)F是弧AD的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，連接BD，BF．

（1）求證：BD∥OE；

（2）若OE＝3，tanC＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑的長(zhǎng)3．

【解析】

(1)如圖，由圓的半徑相等可得∠1=∠3，再由圓周角定理可得∠1=∠2，從而可得∠2=∠3，繼而可得結(jié)論；

(2)連接OD，如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得OD⊥CD，根據(jù)tanC=，設(shè)OD=3k，CD=4k，繼而可得BC=2k，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得 ，繼而可求得DE=6k，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出k的值即可得答案.

(1)∵OB=OF，

∴∠1=∠3，

∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BD∥OE；

(2)連接OD，如圖，

∵直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)，

∴OD⊥CD，

在Rt△OCD中，∵tanC=，

∴設(shè)OD=3k，CD=4k．

∴OC=5k，BO=3k，

∴BC=2k．

∵BD∥OE，

∴，

即,

∴DE=6k，

在Rt△ODE中，∵OE2=OD2+DE2，

∴(3)2=(3k)2+(6k)2，

解得k=,

∴OB=3，

即⊙O的半徑的長(zhǎng)3．