Question

如圖，已知四邊形OABC、四邊形OADE、四邊形OFGH都是正方形．
（1）如圖①，正方形OFGH的頂點F、H分別在邊OA、OC上，連接AH、CF、EF，點M為CF的中點，連接OM，則線段AH與OM之間的數(shù)量關系是

 

，位置關系是

 

（2）如圖②，將圖①中的正方形OFGH繞點O順時針旋轉，旋轉角為α（0＜α＜90°），其它條件不變，判斷（1）中的兩個結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖③，將將圖①中的正方形OFGH繞點O順時針旋轉90°，使得點H落在邊OA上，點F落在邊OE上，點M為線段CF的中點，請你判斷線段AH與OM之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質,三角形中位線定理,正方形的性質

專題：證明題

分析：（1）易證△HOA≌△FOE，從而得到AH=EF，∠OAH=∠OEF；再根據(jù)三角形的中位線定理得到OM∥EF，EF=2OM，進而可以證到AH=2OM，AH⊥OM．
（2）在圖形旋轉過程中，由于條件沒有改變，故可借鑒（1）中的解題經(jīng)驗，同樣可以證到AH=2OM，AH⊥OM．
（3）由條件可得：OA=OE=OC，OH=OF．CF=2CM，從而由AH=EF=CE-CF即可證到AH=2OM．

解答：解：（1）如圖①，
∵四邊形OABC、四邊形OADE、四邊形OFGH都是正方形，
∴OA=OE，OH=OF，∠HOA=∠FOE=90°．
在△HOA和△FOE中，

OA=OE ∠HOA=∠FOE OH=OF

．
∴△HOA≌△FOE（SAS）．
∴AH=EF，∠OAH=∠OEF．
∵點O為CE的中點，點M為CF的中點，
∴OM∥EF，EF=2OM．
∴AH=2OM．
∵OM∥EF，
∴∠COM=∠CEF．
∴∠COM=∠HAO．
∵∠COM+∠MOA=90°，
∴∠HAO+∠MOA=90°．
∴AH⊥OM．
故答案分別為：AH=2OM，AH⊥OM．

（2）如圖②，
（1）中的兩個結論仍然成立．
證明：∵四邊形OABC、四邊形OADE、四邊形OFGH都是正方形，
∴OA=OE，OH=OF，∠HOF=∠AOE=90°．
∴∠HOA=∠FOE．
在△HOA和△FOE中，

OH=OF ∠HOA=∠FOE OA=OE

．
∴△HOA≌△FOE（SAS）．
∴AH=EF，∠OAH=∠OEF．
∵點O為CE的中點，點M為CF的中點，
∴OM∥EF，EF=2OM．
∴AH=2OM．
∵OM∥EF，
∴∠COM=∠CEF．
∴∠COM=∠HAO．
∵∠COM+∠MOA=90°，
∴∠HAO+∠MOA=90°．
∴AH⊥OM．

（3）如圖③，
猜想：AH=2OM．
證明：∵四邊形OABC、四邊形OADE、四邊形OFGH都是正方形，
∴OA=OE=OC，OH=OF．
∴AH=EF．
∵點M是CF的中點，
∴CF=2CM．
∴AH=EF=CE-CF=2OC-2CM=2（OC-CM）=2OM．

點評：本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的中位線定理等知識，滲透了變中有不變的辯證思想，是一道好題．