Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)作CF⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)作AE⊥AF于點(diǎn)．
（1）求證：△ABE≌△ACF；
（2）過點(diǎn)作AH⊥BF于點(diǎn)H，求證：CF=EH．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用直角關(guān)系得出∠BAE=∠CAF，∠ABD=∠DCF，即可得出△ABE≌△ACF，
（2）由△ABE≌△ACF，得出AE=AF，再由等腰直角三角形得出AH=EH，再證得△ADH≌△CDF即可得出CF=EH

解答：證明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，
∴∠EAF=∠CAB=90°
∴∠EAF-∠EAC=∠CAB-∠EAC即∠BAE=∠CAF，
∵CF⊥BD，
∴∠BFC=90°=∠CAB，
∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，
∵∠ADB=∠FDC，
∴∠ABD=∠DCF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠DCF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵AH⊥BF，
∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，
∴∠EAH=180°-∠AHE-∠AEF=45°=∠AEF，
∴AH=EH，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴AD=CD，
在△ADH和△CDF中，

∠AHF=∠CFH ∠ADB=∠FDC AD=CD

，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，
∴EH=CF．

點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)角和邊的關(guān)鍵得出三角形全等．