Question

16．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，12）和B（6，2）兩點．點P是線段AB上一動點（不與點A和B重合），過P點分別作x、y軸的垂線PC、PD交反比例函數(shù)圖象于點M、N，則四邊形PMON面積的最大值是$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 由點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（n，-2n+14）（1＜n＜6）．由反比例的函數(shù)解析式表示出來M、N點的坐標(biāo)，分割矩形OCPD，結(jié)合矩形和三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{m}{x}$，一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
由已知得：12=$\frac{m}{1}$和$\left\{\begin{array}{l}{12=k+b}\\{2=6k+b}\end{array}\right.$，
解得：m=12和$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=14}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)解析式為y=-2x+14，反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{12}{x}$．
∵點P在線段AB上，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，-2n+14）（1＜n＜6）．
令x=n，則y=$\frac{12}{n}$；
令y=-2n+14，則$\frac{12}{x}$=-2n+14，解得：x=$\frac{6}{7-n}$．
∴點M（n，$\frac{12}{n}$），點N（$\frac{6}{7-n}$，-2n+14）．
S_{四邊形PMON}=S_矩形OCPD-S_△ODN-S_△OCM=n（-2n+14）-$\frac{1}{2}$n•$\frac{12}{n}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{6}{7-n}$•（-2n+14）=-2n²+14n-12=-2$（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{25}{2}$．
∴當(dāng)n=$\frac{7}{2}$時，四邊形PMON面積最大，最大面積為$\frac{25}{2}$．
故答案為：$\frac{25}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是利用分割法求出四邊形PMON面積關(guān)于點P橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)分割法找出面積的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、二次函數(shù)的頂點之類）來解決最值問題．