Question

1．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點(diǎn)且點(diǎn)A在第一象限，是兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)；
（1）求反比例函數(shù)的解析式？
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）列出關(guān)于a、b、k方程組，解方程組可以求出k的值．
（2）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再分三種情形：①當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形△AOP的頂點(diǎn)，②當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形△AOP的頂點(diǎn)，③當(dāng)點(diǎn)P為等腰三角形△AOP的頂點(diǎn)，分別求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=2x-1經(jīng)過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2a-1}\\{b+k+2=2（a+k）-1}\end{array}\right.$，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$．
（2）存在．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（1，1）．
∴OA=$\sqrt{2}$，
①當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形△AOP的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．
②當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形△AOP的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0）．
③當(dāng)點(diǎn)P為等腰三角形△AOP的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）．
∴△AOP為等腰三角形，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）和（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用方程組解決問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會(huì)分類討論的方法，注意不能漏解，屬于中考常考題型．