Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)，在軸上方，且四邊形的面積為32，

（1）若四邊形是菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）若四邊形是平行四邊形，如圖1，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，求的值．

（3）若四邊形是矩形，如圖2，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)(-4,4);(2);(3)

【解析】

(1)作DH⊥AB,先求出AB,根據(jù)菱形性質(zhì)得AD=AB=8,再根據(jù)勾股定理求出AH,再求OH;

(2)延長EF與x軸相交于G,作EP⊥AB,根據(jù)平行線性質(zhì)證△ECF≌△GBF(AAS),得BG=EC=4,EF=FG,AG=AB+BG=12,EG=2EF,根據(jù)勾股定理得:(AE+EG)2-2AEEG=AG2,根據(jù)三角形面積公式得:所以(AE+EG)2-2×48=122;

(3)作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn),作,交AC于點(diǎn)M,此時(shí)BM+MN最小,連接;根據(jù)矩形性質(zhì)和軸對(duì)稱性質(zhì)得:AB=8,BC=,AC=,求得=,=AB=8,,設(shè)AN=x,則BN=8-x,由勾股定理可得:,可進(jìn)一步求出.

(1)作DH⊥AB

因?yàn)?/span>,,

所以AB=4-(-4)=8,

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形,

所以AD=AB=8,

因?yàn)樗倪呅?/span>的面積為32,

所以DH=32÷8=4

所以根據(jù)勾股定理可得:AH=

所以OH=AH-OA=-4

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-4,4)

(2)延長EF與x軸相交于G,作EP⊥AB

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形,

所以DC=AB=8,DC//AB

所以∠C=∠CBG,∠CEF=∠BGF,

因?yàn)?/span>E,F分別是CD,AB的中點(diǎn),

所以DE=CE=4,CF=BF,

所以△ECF≌△GBF(AAS)

所以BG=EC=4,EF=FG

所以AG=AB+BG=12,EG=2EF,

又因?yàn)?/span>AF⊥EF

所以AE2+EG2=AG2

所以(AE+EG)2-2AEEG=AG2

由(1)知EP=DH=4

所以根據(jù)三角形面積公式得:

所以

所以(AE+EG)2-2×48=122

所以

所以AE+2EF=

(3)作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn),作,交AC于點(diǎn)M,此時(shí)BM+MN最小;連接.

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是矩形,

所以由已知可得:AB=8,BC=

所以AC=

所以在三角形ABC中,AC上的高是:

因?yàn)?/span>AC是的對(duì)稱軸,

所以=,=AB=8,

設(shè)AN=x,則BN=8-x,由勾股定理可得:

解得x=,

所以

所以BM+MN=

即BM+MN的最小值是.