Question

4．如圖，正方形ABCD中，以AD為底邊作等腰△ADE，將△ADE沿DE折疊，點A落到點F處，連接EF剛好經(jīng)過點C，再連接AF，分別交DE于G，交CD于H．在下列結(jié)論中：
①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S_△HCF=S_△ADH，
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 首先證明∠HCF=∠FHC=67.5°，由此可以判定③正確，②錯誤，再證明AC∥DF，推出S_△DFA=S_△FDC，由此判斷⑤正確，根據(jù)ASA可以判斷①正確，在△EAF中，由∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由此判斷④錯誤．

解答 解：如圖，連接AC、以D為圓心DA為半徑畫圓．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°
∵△DEF是由△DEA翻折得到，
∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°
∴∠EFA=∠EAF=45°，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEF=∠DEA=45°，
∵EA=ED=EF，
∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，
∴∠DAF=∠DFA=22.5°，
∴∠ADF=180°-∠DAF-∠DFA=135°，
∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=45°，
∴∠DCF=180°-∠CDF-∠DFC=67.5°，
∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，
∴∠HCF=∠FHC，
∴△CFH是等腰三角形，故③正確．②錯誤，
∵∠ACD=∠CDF，
∴AC∥DF，
∴S_△DFA=S_△FDC，
∴S_△ADH=S_△CHF，故⑤正確，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAM=∠CDN，
在△ABM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CDN}\\{AB=DC}\\{∠B=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN，故①正確，
在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，
∴CE=CK＜CF，
∴CE≠CF故④錯誤．
∴①③⑤正確，
選B．

點評 本題考查四邊形綜合題、圓的有關性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構(gòu)造圓利用圓的有關性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．