Question

【題目】等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S．

（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC；（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

【解析】

試題分析：由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系，另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一定時(shí)間后會(huì)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，所以一些問(wèn)題可能會(huì)有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)我們應(yīng)分條回答．

解：（1）當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=10﹣t

∴

當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB得延長(zhǎng)線上，此時(shí)CQ=t，PB=t﹣10

∴（4分）

（2）∵S△ABC=（5分）

∴當(dāng)t＜10秒時(shí)，S△PCQ=

整理得t2﹣10t+100=0無(wú)解（6分）

當(dāng)t＞10秒時(shí)，S△PCQ=

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去負(fù)值）（7分）

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC（8分）

（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

證明：過(guò)Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M

易證△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對(duì)角線EM的一半．

又∵EM=AC=10∴DE=5

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，DE=5

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．