【題目】如圖,扇形OMN的半徑為1,圓心角為90°,點(diǎn)B是上一動(dòng)點(diǎn),BA⊥OM于點(diǎn)A,BC⊥ON于點(diǎn)C,點(diǎn)D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn),GF與CE相交于點(diǎn)P,DE與AG相交于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到使AB:OA=:3時(shí),求的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到使四邊形EPGQ為矩形時(shí),求AM的長(zhǎng).
(3)連接PQ,試說明3PQ2+OA2是定值.
【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)AM的長(zhǎng)為(1﹣)時(shí),四邊形EPGQ是矩形(3)定值
【解析】
(1)先利用三角函數(shù)求出∠AOB=30°,再用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論;
(2)易得△AED∽△BCE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理,即可求得OA的長(zhǎng),即可得出結(jié)論;
(3)連接GE交PQ于O′,易得O′P=O′Q,O′G=O'E,然后過點(diǎn)P作OC的平行線分別交BC、GE于點(diǎn)B′、A′,由△PCF∽△PEG,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理,即可求得3PQ2+OA2的值.
解:(1)證明:連接OB,如圖①,
∵四邊形OABC是矩形,
∴∠AOC=∠OAB=90°,
在Rt△AOB中,tan∠AOB==,
∴∠AOB=30°,
∴==;
(2)如圖②,∵EPGQ是矩形.
∴∠CED=90°
∴∠AED+∠CEB=90°.
又∵∠DAE=∠EBC=90°,
∴∠AED=∠BCE.
∴△AED∽△BCE,
∴.
設(shè)OA=x,AB=y,則=,
得y2=2x2,
又 OA2+AB2=OB2,
即x2+y2=12.
∴x2+2x2=1,
解得:x=.
∴AM=OM﹣OA=1﹣
當(dāng)AM的長(zhǎng)為(1﹣)時(shí),四邊形EPGQ是矩形;
(3)如圖③,連接GE交PQ于O′,
∵四邊形EPGQ是平行四邊形,
∴O′P=O′Q,O′G=O′E.
過點(diǎn)P作OC的平行線分別交BC、GE于點(diǎn)B′、A′.
由△PCF∽△PEG得, =2,
∴PA′=A′B′=AB,GA′=GE=OA,
∴A′O′=GE﹣GA′=OA.
在Rt△PA′O′中,PO′2=PA′2+A′O′2,
即=+,
又 AB2+OA2=1,
∴3PQ2=AB2+,
∴OA2+3PQ2=OA2+(AB2+)=是定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如果將點(diǎn)P繞點(diǎn)T(0,t)(t>0)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)Q,那么稱線段QP為“拓展帶”,點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“拓展點(diǎn)”.
(1)當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)(0,0)的“拓展點(diǎn)”坐標(biāo)為 ,點(diǎn)(﹣1,1)的“拓展點(diǎn)”坐標(biāo)為 ;
(2)如果 t>1,當(dāng)點(diǎn)M(2,1)的“拓展點(diǎn)”N在函數(shù)y=﹣的圖象上時(shí),求t的值;
(3)當(dāng)t=1時(shí),點(diǎn)Q為點(diǎn)P(2,0)的“拓展點(diǎn)”,如果拋物線 y=(x﹣m)2﹣1與“拓展帶”PQ有交點(diǎn),求m的取值范圍.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G.
(1)求證:AE=CF;
(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為1的正△ABC(C與O重合)的邊BC在x軸上,頂點(diǎn)A在第一象限,現(xiàn)在進(jìn)行以下操作:
(1)將△ABC沿x軸向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)A變?yōu)锳1;
(2)將三角形沿x軸翻折,此時(shí)A1變?yōu)锳2;
(3)將三角形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,此時(shí)A2變?yōu)锳3;
(4)將三角形沿y軸翻折,此時(shí)A3變?yōu)锳4;
(5)將三角形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,此時(shí)A4變?yōu)锳5;
按照此規(guī)律,重復(fù)以上五步,則A2018的坐標(biāo)為( 。
A. (,﹣) B. (﹣,) C. (,) D. (﹣,﹣)
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【題目】如圖所示,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是( )
A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為米的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為2米的正方形蓄水池后余下的部分,“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為米的正方形,兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了.
(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高?
(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“六一”期間,小張購(gòu)進(jìn)100只兩種型號(hào)的文具進(jìn)行銷售,其進(jìn)價(jià)和售價(jià)之間的關(guān)系如下表:
(1)小張如何進(jìn)貨,使進(jìn)貨款恰好為1300元?
(2)要使銷售文具所獲利潤(rùn)最大,且所獲利潤(rùn)不超過進(jìn)貨價(jià)格的40%,請(qǐng)你幫小張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)進(jìn)貨方案,并求出其所獲利潤(rùn)的最大值.
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【題目】如圖,在中,點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上,且,.下列四種說法:
①四邊形是平行四邊形;②如果,那么四邊形是矩形;
③如果平分,那么四邊形是菱形;
④如果且,那么四邊形是菱形.
其中,正確的有 .(只填寫序號(hào))
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