Question

【題目】已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，在CD邊上取一點E，將△ADE沿AE翻折，點D恰好落在BC邊上的點F處．

（1）求線段EF長；

（2）在平面內(nèi)找一點G，

①使得以A、B、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點G的坐標；

②如圖2，將圖1翻折后的矩形沿y軸正半軸向上平移m個單位，若四邊形AOGF為菱形，請求出m的值并寫出點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）EF=；（2）①點G的坐標為（-8,6）或（8,6）或（8,-6）；②m=4，點G的坐標是（8，-6）.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得到AD=BC=10，CD=AB=6，由折疊得AF=AD=10，根據(jù)勾股定理求出OF=8，得到FC=OC-OF=2，再利用勾股定理得到 ，即可求出EF；

（2）①分別以AB、AF、BF為平行四邊形的對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點G的坐標；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AO=AF=10，由此得到平移的距離m=4, 設(shè)FG交x軸于點H，證明四邊形OBFH是矩形，得到=OB=4，OH=BF=8，求出HG=10-4=6，由此求出點G的坐標是（8，-6）.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，CD=AB=6，

由折疊得AF=AD=10，

∵∠AOC=90°，AO=6，

∴OF=8，

∴FC=OC-OF=2，

在Rt△EFC中， ，

∴，

解得EF=；

（2）①當AB為平行四邊形的對角線時，AG=BF且AG∥BF，∴點G的坐標為（-8,6）；

當AF為平行四邊形的對角線時，AG=BF且AG∥BF，∴點G的坐標為（8,6）；

當BF為平行四邊形的對角線時，FG=AB且FG∥AB，∴點G的坐標為（8,-6）；

綜上，點G的坐標為（-8,6）或（8,6）或（8,-6）；

②∵四邊形AOGF是菱形，

∴AO=AF=10,

∴矩形ABCD平移的距離m=AO-AB=10-6=4，即OB=4，

設(shè)FG交x軸于點H，

∵AO∥FG，BC∥x軸，

∴∠FBO=∠BOH=∠OHF=90°，

∴四邊形OBFH是矩形，

∴FH=OB=4，OH=BF=8，

∴HG=10-4=6，

∴點G的坐標是（8，-6）.