Question

19．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N，求證：MN=$\frac{1}{3}$AC；
（2）如圖2，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P，連接GP，當(dāng)△DGP的面積等于3$\sqrt{3}$時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向．

Answer 1

分析 （1）連接BD，證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AE=EB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）分∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE=EB，
∵AB∥DC，
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AE}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
同理，$\frac{CN}{AN}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，
∴∠EDF=60°，
當(dāng)∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，
DE=DF=$\sqrt{3}$，∠DEG=∠DFP=90°，
在△DEG和△DFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠PDF}\\{∠DEG=∠DFP}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG=DP，
∴△DGP為等邊三角形，
∴△DGP的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$DG²=3$\sqrt{3}$，
解得，DG=2$\sqrt{3}$，
則cos∠EDG=$\frac{DE}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EDG=60°，
∴當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，△DGP的面積等于3$\sqrt{3}$，
同理可得，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，△DGP的面積也等于3$\sqrt{3}$，
綜上所述，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，△DGP的面積等于3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的是菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．