Question

10．如圖，直線l：y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax²-2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時，動點M相應(yīng)的位置記為點M′．
①寫出點M′的坐標(biāo)；
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設(shè)點B、M′到直線l′的距離分別為d₁、d₂，當(dāng)d₁+d₂最大時，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）利用直線l的解析式求出B點坐標(biāo)，再把B點坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；
（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），然后根據(jù)面積關(guān)系將△ABM的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）①由（2）可知m=$\frac{5}{2}$，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；
②可將求d₁+d₂最大值轉(zhuǎn)化為求AC的最小值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax²-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）令y=0代入y=-x²+2x+3，
∴0=-x²+2x+3，
∴x=-1或3，
∴拋物線與x軸的交點橫坐標(biāo)為-1和3，
∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐標(biāo)為（1，0），
由題意知：M的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），
S=S_{四邊形OAMB}-S_△AOB
=S_△OBM+S_△OAM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×m×3+$\frac{1}{2}$×1×（-m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時，S取得最大值$\frac{25}{8}$．

（3）①由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
②過點M′作直線l₁∥l′，過點B作BF⊥l₁于點F，
根據(jù)題意知：d₁+d₂=BF，
此時只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴點F在以BM′為直徑的圓上，
設(shè)直線AM′與該圓相交于點H，
∵點C在線段BM′上，
∴F在優(yōu)弧$\widehat{BM′H}$上，
∴當(dāng)F與M′重合時，
BF可取得最大值，
此時BM′⊥l₁，
∵A（1，0），B（0，3），M′（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴由勾股定理可求得：AB=$\sqrt{10}$，M′B=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，M′A=$\frac{\sqrt{85}}{4}$，
過點M′作M′G⊥AB于點G，
設(shè)BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B²-BG²=M′A²-AG²，
∴$\frac{85}{16}$-（$\sqrt{10}$-x）²=$\frac{125}{16}$-x²，
∴x=$\frac{5\sqrt{10}}{8}$，
cos∠M′BG=$\frac{BG}{M′B}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵l₁∥l′，
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
方法二：過B點作BD垂直于l′于D點，過M′點作M′E垂直于l′于E點，則BD=d₁，ME=d₂，
∵S_△ABM′=$\frac{1}{2}$×AC×（d₁+d₂）
當(dāng)d₁+d₂取得最大值時，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)AC⊥BM′時取得最小值．
根據(jù)B（0，3）和M′（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）可得BM′=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$×AC×BM′=$\frac{25}{8}$，∴AC=$\sqrt{5}$，
當(dāng)AC⊥BM′時，cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAC=45°．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式，求三角形面積，圓的相關(guān)性質(zhì)等知識，內(nèi)容較為綜合，學(xué)生需要認(rèn)真分析題目，化動為靜去解決問題．