Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）；
（2）拋物線的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（3）設(shè)（2）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；
（4）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB′C的位置．請(qǐng)判斷點(diǎn)B′C′是否在（2）中的拋物線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 1）先利用勾股定理計(jì)算出OA得到A（0，2），作BH⊥x軸于H，如圖1，通過(guò)證明△ACO≌△CBH得到OC=BH=1，AO=CH=2，則可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直接把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+ax-2中求出a即可得到拋物線解析式；
（3）先把（2）值的一般式配成頂點(diǎn)式得到D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{8}$），再利用待定系數(shù)法求出BD的關(guān)系式為y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{11}{4}$；直線BD和x軸交點(diǎn)為E，如圖1，則可得到E（-$\frac{11}{5}$，0），然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△BCD=S_△BCE+S_△DCE進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）如圖2，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥y軸于點(diǎn)M，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAC′=90°，∠BAB′=90°，AC=AC′，AB=AB′，再證明Rt△AB′N(xiāo)≌Rt△BAF得到B′N(xiāo)=AF=2，AN=BF=3，則B′（1，-1），利用同樣方法求出C′（2，1），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)B′、C′是否在（2）中的拋物線上．

解答 解：（1）∵C（1，0），
∴OC=1，
∵AC=$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴A（0，2），
作BH⊥x軸于H，如圖1，
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠BCH=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCH，
在△ACO和△CBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CHB}\\{∠CAO=∠BCH}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△CBH，
∴OC=BH=1，AO=CH=2，
∴B（-3，1）；
故答案為（0，2），（-3，1）；
（2）把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得9a-3a-2=1，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
故答案為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（3）∵y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{8}$，
∴D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{8}$），
設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，
將B（-3，1）、D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-\frac{1}{2}k+b=-\frac{17}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴BD的關(guān)系式為y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{11}{4}$；
直線BD和x軸交點(diǎn)為E，如圖1，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{5}{4}$x-$\frac{11}{4}$=0，解得x=-$\frac{11}{5}$，則E（-$\frac{11}{5}$，0），
∴S_△BCD=S_△BCE+S_△DCE=$\frac{1}{2}$•（-1+$\frac{11}{5}$）•1+$\frac{1}{2}$•（-1+$\frac{11}{5}$）•$\frac{17}{5}$=$\frac{15}{8}$；
（4）點(diǎn)B′、C′在（2）中的拋物線上．理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥y軸于點(diǎn)M，
∵三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB′C的位置，
∴∠CAC′=90°，∠BAB′=90°，AC=AC′，AB=AB′，
∵∠BAF+∠B′AN=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠B′AN，
在Rt△AB′N(xiāo)與Rt△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB′=∠BFA}\\{∠B′AN=∠ABF}\\{AB′=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AB′N(xiāo)≌Rt△BAF，
∴B′N(xiāo)=AF=2，AN=BF=3，
∴B′（1，-1），
同理可得△AC′M≌△CAO，
∴C′M=OA=2，AM=OC=1，
∴C′（2，1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-2=-1，所以點(diǎn)B′（1，-1）在拋物線上，
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=2+1-2=1，所以點(diǎn)C′（2，1）在拋物線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；能構(gòu)建三角形全等證明線段相等．