【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(2,﹣1),圖象與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A、B兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設拋物線對稱軸與直線BC交于點D,連接AC、AD,求△ACD的面積;
(3)點E為直線BC上的任意一點,過點E作x軸的垂線與拋物線交于點F,問是否存在點E使△DEF為直角三角形?若存在,求出點E坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;(2)S△ACD=2;(3)存在滿足條件的點E,其坐標為(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1).
【解析】試題分析:(1)設頂點式y=a(x-2)2-1(a≠0),然后把C點坐標代入求出a即可;
(2)通過解方程x2-4x+3=0得A(1,0),B(3,0),再利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式為y=-x+3,從而得到D(2,1),然后利用S△ACD=S△ABC-S△ABD進行計算即可;
(3)易得∠FED≠90°,則△DEF為直角三角形,分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況,①當∠DFE=90°時F點縱坐標為1,解方程x2-4x+3=1得點E的橫坐標為2±,再利用點E在直線y=-x+3上可確定E點坐標;②當∠EDF=90°時,先確定直線AD解析式為y=x-1,則可判斷AD⊥BC,所以直線AD與拋物線的交點即為E點,解方程x2-4x+3=x-1得E點的橫坐標,然后利用直線BC的解析式確定E點坐標.
(1)∵拋物線的頂點坐標為(2,﹣1),
∴可設拋物線解析式為y=a(x﹣2)2﹣1(a≠0),
把C(0,3)代入可得a(0﹣2)2﹣1=3,解得a=1,
∴拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3;
(2)在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得x2﹣4x+3=0,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
設直線BC解析式為y=kx+3,把B(3,0)代入得:3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直線BC解析式為y=﹣x+3,
由(1)可知拋物線的對稱軸為x=2,此時y=﹣x+3=1,
∴D(2,1),
∴S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=×2×3﹣×2×1=2;
(3)由題意知EF∥y軸,則∠FED=∠OCB≠90°,
∴△DEF為直角三角形,分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況,
①當∠DFE=90°時,即DF∥x軸,則D、F的縱坐標相同,
∴F點縱坐標為1,
∵點F在拋物線上,
∴x2﹣4x+3=1,解得x=2±,即點E的橫坐標為2±,
∵點E在直線y=﹣x+3上,
∴當x=2+時,y=﹣x+3=1﹣;
當x=2﹣時,y=﹣x+3=1+,
∴E點坐標為(2+,1﹣)或(2﹣,1+);
②當∠EDF=90°時,
∵A(1,0),D(2,1),
∴直線AD解析式為y=x﹣1,
∵直線BC解析式為y=﹣x+3,
∴AD⊥BC,
∴直線AD與拋物線的交點即為E點,
聯(lián)立直線AD與拋物線解析式有x2﹣4x+3=x﹣1,解得x=1或x=4,
當x=1時,y=﹣x+3=2;當x=4時,y=﹣x+3=﹣1,
∴E點坐標為(1,2)或(4,﹣1),
綜上所述,存在滿足條件的點E,其坐標為(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1).
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【題目】某校舉行“漢字聽寫”比賽,每位學生聽寫漢字39個,比賽結(jié)束后隨機抽查部分學生的聽寫結(jié)果,以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖的一部分
組別 | |||||
正確字數(shù) | |||||
人數(shù) | 10 | 15 | 25 |
根據(jù)以上信息解決下列問題:
1)在統(tǒng)計表中, , ,并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)扇形統(tǒng)計圖中“組”所對應的圓心角的度數(shù)是 .
(3)若該校共有900名學生,如果聽寫正確的個數(shù)少于24個定為不合格,請你估計這所學校本次比賽聽寫不合格的學生人數(shù)
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【題目】如圖,⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D,與直角邊AC相交于E、F兩點,連結(jié)DE,已知∠B=30°,⊙O的半徑為12,弧DE的長度為4π.
(1)求證:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求線段BC的長度.
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【題目】(10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點,∠B=30°,連接AD.
(1)若∠BAD=45°,求證:△ACD為等腰三角形;
(2)若△ACD為直角三角形,求∠BAD的度數(shù).
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【題目】甲、乙兩個工程隊計劃修建一條長15千米的鄉(xiāng)村公路,已知甲工程隊每天比乙工程隊每天多修路0.5千米,乙工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)是甲工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)的1.5倍.
(1)求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少千米?
(2)若甲工程隊每天的修路費用為0.5萬元,乙工程隊每天的修路費用為0.4萬元,要使兩個工程隊修路總費用不超過5.2萬元,甲工程隊至少修路多少天?
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【題目】甲、乙兩人共同計算一道整式乘法:(2x+a)(3x+b),由于甲抄錯了第一個多項式中a的符號,得到的結(jié)果為6x2+11x-10;由于乙漏抄了第二個多項式中的x的系數(shù),得到的結(jié)果為2x2-9x+10.請你計算出a,b的值各是多少,并寫出這道整式乘法的正確結(jié)果.
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【題目】如圖所示,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點O,AO=CO=8,BO=DO=6,點P為線段AC上的一個動點。
⑴ 填空:AD=CD=_____ .
⑵ 過點P分別作PM⊥AD于M點,作PH⊥DC于H點.連結(jié)PB,在點P運動過程中,PM+PH+PB的最小值為____________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,長方形ABCD的邊AB在y軸正半軸上,頂點A的坐標為(0,2),設頂點C的坐標為(a,b).
(1)頂點B的坐標為 ,頂點D的坐標為 (用a或b表示);
(2)如果將一個點的橫坐標作為x的值,縱坐標作為y的值,代入方程2x+3y=12成立,就說這個點的坐標是方程2x+3y=12的解.已知頂點B和D的坐標都是方程2x+3y=12的解,求a,b的值;
(3)在(2)的條件下,平移長方形ABCD,使點B移動到點D,得到新的長方形EDFG,
①這次平移可以看成是先將長方形ABCD向右平移 個單位長度,再向下平移 個單位長度的兩次平移;
②若點P(m,n)是對角線BD上的一點,且點P的坐標是方程2x+3y=12的解,試說明平移后點P的對應點P′的坐標也是方程2x+3y=12的解.
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【題目】某水果店以4元/千克的價格購進一批水果,由于銷售狀況良好,該店又再次購進同一種水果,第二次進貨價格比第一次每千克便宜了0.5元,所購水果重量恰好是第一次購進水果重量的2倍,這樣該水果店兩次購進水果共花去了2200元.
(1)該水果店兩次分別購買了多少元的水果?
(2)在銷售中,盡管兩次進貨的價格不同,但水果店仍以相同的價格售出,若第一次購進的水果有3%的損耗,第二次購進的水果有5%的損耗,該水果店希望售完這些水果獲利不低于1244元,則該水果每千克售價至少為多少元?
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