Question

已知：如圖，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分別為垂足，AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，BC=DF．求證：
（1）∠DAF=∠CFB；
（2）EF=

1

2

AB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)條件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB；
（2）根據(jù)∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形，由EF是AB的垂直平分線就可以得出EF=

1

2

AB．

解答：證明：（1）EF垂直平分AB，
∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ADF和Rt△FCB中

AF=FB DF=CB

，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；
（2）∵∠D=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CFB+∠DFA=90°，
∴∠AFB=90°．
∴△AFB是等腰直角三角形．
∵AE=BE，
∴EF=

1

2

AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵、