【題目】1)操作:如圖,在已知內(nèi)角度數(shù)的三個(gè)三角形中,請用直尺從某一頂點(diǎn)畫一條線段,把原三角形分割成兩個(gè)等腰三角形,并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù)

2)拓展,ABC中,AB=AC,∠A=45°,請把ABC分割成三個(gè)等腰三角形,并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù).

3)思考在如圖所示的三角形中∠A=30°.點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊ACBC上的兩個(gè)動點(diǎn).分別連接BPPQABC分割成三個(gè)三角形.ABP,BPQ,PQC若分割成的這三個(gè)三角形都是等腰三角形,求∠C的度數(shù)所有可能值直接寫出答案即可.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)∠C所有可能的值為10°、20°、25°35°、40°、50°、80°、100°.

【解析】

1)在圖1、圖2、圖3中,分別作AB、ABBC的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)求出各角度數(shù)即可;(2)分別作AB、BC的垂直平分線,交于點(diǎn)O,連接OA、OB、OC可得三角形OABOAC、OBC為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)求出各角度數(shù)即可;(3)分PB=PAAB=APBA=BP時(shí),PB=PQBP=BQ、QB=QPPQ=QC、PC=QC、PQ=PC10種情況,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠C的度數(shù)即可.

1)在圖1、圖2、圖3中,分別作AB、AB、BC的垂直平分線,

如圖1,∵∠ABC=23°,∠BAC=90°,

∴∠C=90°-23°=67°,

MN垂直平分AB,

BD=AD,

∴△ABD是等腰三角形,

∴∠BAD=ABC=23°,

∴∠ADC=2ABC=46°,

∵∠BAC=90°

∴∠DAC=BAC-BAD=67°,

∴∠DAC=C

∴△DAC是等腰三角形,

同理:圖2中,∠ADC=46°,∠DAC=88°,∠C=46°,ABDACD是等腰三角形,

3中,∠BCD=23°,∠ADC=46°,∠ACD=46°BCDACD是等腰三角形.

2)作AB、BC的垂直平分線,交于點(diǎn)O,連接OAOBOC,

∵點(diǎn)O是三角形垂直平分線的交點(diǎn),

OA=OB=OC

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形,

AB=AC,∠BAC=45°,

∴∠ABC=ACB=67.5°,

ADBC的垂直平分線,

∴∠BAD=CAD=22.5°,

∴∠OBA=OAB=22.5°,∠OCA=OAC=22.5°,

∴∠OBC=OCB=45°.

3)①如圖,當(dāng)PB=PA,PB=PQ,PQ=CQ時(shí),

∵∠A=30°,PB=PQ

∴∠ABP=A=30°,

∴∠APB=120°,

PB=PQ,PQ=CQ,

∴∠PQB=PBQ,∠C=CPQ,

∴∠PBQ=2C,

∴∠APB=PBQ+C=3C=120°,

解得:∠C=40°.

②如圖,當(dāng)PB=PA,PB=BQ,PQ=CQ時(shí),

∴∠PQB=2C,∠PQB=BPQ,

∴∠PBQ=180°-2PQB=180°-4C,

180°-4C+C=120°,

解得:∠C=20°,

③如圖,當(dāng)PA=PB,BQ=PQCQ=CP時(shí),

∵∠PQC=2PBQ,∠PQC=180°-C),

∴∠PBQ=180°-C),

180°-C+C=120°

解得:∠C=100°.

④如圖,當(dāng)PA=PBBQ=PQ,PQ=CP時(shí),

∵∠PQC=C=2PBQ,

又∵∠C+PBQ=120°

∴∠C=80°;

⑤如圖,當(dāng)AB=AP,BP=BQ,PQ=QC時(shí),

∵∠A=30°,

∴∠APB=180°-30°=75°

BP=BQ,PQ=CQ

∴∠BPQ=BQP,∠QPC=QCP,

∴∠BQP=2C,

∴∠PBQ=180°-4C,

∴∠C+180°-4C=75°,

解得:∠C=35°.

⑥如圖,當(dāng)AB=AP,BQ=PQPC=QC時(shí),

∴∠PQC=2PBC,∠PQC=180°-C),

∴∠PBC=180°-C),

180°-C+C=75°,

解得:∠C=40°.

⑦如圖,當(dāng)AB=AP,BQ=PQPC=QP時(shí),

∵∠C=PQC=2PBC,∠C+PQC=75°,

∴∠C=50°;

⑧當(dāng)AB=AP,BP=PQPQ=CQ時(shí),

AB=BP,∠A=30°,

∴∠ABP=APB=75°,

又∵∠PBQ=PQB=2C

且有∠PBQ+C=180°-30°-75°=75°,

3C=75°

∴∠C=25°;

⑨當(dāng)AB=BP,BP=PQPQ=CQ時(shí),

AB=BP

∴∠BPA=A=30°,

∵∠PBQ=PQB=2C

2C+C=30°,

解得:∠C=10°.

⑩當(dāng)AB=BPBQ=PQ,PQ=CQ時(shí),

∴∠PQC=C=2PBQ,

C+C=30°,

解得:∠C=20°.

綜上所述:∠C所有可能的值為10°、20°、25°,35°40°、50°、80°100°.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知有兩輛玩具車進(jìn)行30米的直跑道比賽,兩車從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),A車到達(dá)終點(diǎn)時(shí),B車離終點(diǎn)還差12米,A車的平均速度為2.5/秒.

1)求B車的平均速度;

2)如果兩車重新比賽,A車從起點(diǎn)退后12米,兩車能否同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)?請說明理由;

3)在(2)的條件下,若調(diào)整A車的平均速度,使兩車恰好同時(shí)到達(dá)終點(diǎn),求調(diào)整后A車的平均速度.

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【題目】如圖,在矩形MNPQ中,動點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā),沿著N-P-Q-M方向移動至M停止,設(shè)R移動路程為x,MNR面積為y,那么yx的關(guān)系如圖②,下列說法不正確的是(

A.當(dāng)x=2時(shí),y=5B.矩形MNPQ周長是18

C.當(dāng)x=6時(shí),y=10D.當(dāng)y=8時(shí),x=10

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【題目】浠水縣商場某柜臺銷售每臺進(jìn)價(jià)分別為160元、120元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇,下表是近兩周的銷售情況:

銷售時(shí)段

銷售數(shù)量

銷售收入

A種型號

B種型號

第一周

3

4

1200

第二周

5

6

1900

(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤=銷售收入﹣進(jìn)貨成本)

(1)求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價(jià);

(2)若商場準(zhǔn)備用不多于7500元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共50臺,求A種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺?

(3)在(2)的條件下,商場銷售完這50臺電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤超過1850元的目標(biāo)?若能,請給出相應(yīng)的采購方案;若不能,請說明理由.

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【題目】如圖,ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).

(1) 請畫出ABC向左平移5個(gè)單位長度后得到的ABC;

(2) 請畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的ABC;

(3) 在軸上求作一點(diǎn)P,使PAB的周長最小,請畫出PAB,并直接寫P的坐標(biāo).

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【題目】已知:在△ABC中,AC=BC∠ACB=90°,點(diǎn)DAB的中點(diǎn),點(diǎn)EAB邊上一點(diǎn).

1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖1),求證:AE=CG;

2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段,并證明.

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【題目】如圖,在RtABC中,∠C90°,斜邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,AE平分∠BAC,那么下列不成立的是(

A.B=∠CAEB.DEA=∠CEAC.B=∠BAED.AC2EC

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【題目】如圖1,在△ABC中,∠C90°,延長CA至點(diǎn)D,使ADAB.設(shè)F為線段AB上一點(diǎn),連接DF,以DF為斜邊作等腰RtDEF,且使AEAB

1)求證:AEAF+BC;

2)當(dāng)點(diǎn)FBA延長線上一點(diǎn),而其余條件保持不變,如圖2所示,試探究AEAF、BC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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