Question

10．某商品現(xiàn)在售價為每件40元，每天可賣200件，該商品將從現(xiàn)在起進行90天的銷售：在第x（1≤x≤49）天內(nèi)，當天售價都較前一天增加1元，銷量都較前一天減少2件；在x（50≤x≤90）天內(nèi)，當天的售價都是90元，銷售仍然是較前一天減少2件，已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售商品的當天利潤為y元．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天當天銷售利潤不低于4800元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：總利潤=（售價-成本）×銷售量，結(jié)合x的取值范圍可列函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，比較大小可得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，解不等式即可的x的范圍，可得答案

解答 解：（1）當1≤x≤49時，當天售價為（40+x）元，出售商品（200-2x）件．
∴y=（40+x-30）（200-2x）=-2x²+180x+2000；
當50≤x≤90時，當天售價為90元，出售量為（200-2x），
∴y=（90-30）（200-2x）=-120x+12000；
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000}&{（1≤x≤49）}\\{-120x+12000}&{（50≤x≤90）}\end{array}\right.$．

（2）當1≤x≤49時，y=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴當x=45時，y取得最大值6050；
當50≤x≤90時，由y=-120x+12000知，y隨x的增大而減小，
∴當x=50時，y取得最大值6000．
∵6050＞6000，
∴銷售該商品第45天時，銷售利潤最大，最大利潤為6050元．

（3）①當1≤x≤49時，-2x²+180x+2000≥4800，
解得：20≤x≤70，
∴20≤x≤49；
②當50≤x≤90時，-120x+12000≥4800，
解得：x≤60，
∴50≤x≤60；
綜上，20≤x≤60，
∴從第20天起直到第60天止，每天的銷售利潤都不低于4800元，
故共有41天當天銷售利潤不低于4800元．

點評 本題考查了一次函數(shù)的解析式的運用、二次函數(shù)的解析式的運用、一元一次不等式及不等式組的運用，解答時建立函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．