Question

1．在形如a^b=N的式子中，我們已經(jīng)研究過已知a和b，求N，這種運(yùn)算就是乘方運(yùn)算．
現(xiàn)在我們研究另一種情況：已知a和N，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算．
定義：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），則b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b=log_aN．
例如：因?yàn)?³=8，所以log₂8=3；因?yàn)?{2^{-3}}=\frac{1}{8}$，所以${log_2}\frac{1}{8}=-3$．
（1）根據(jù)定義計(jì)算：
①log₃81=4；②log₃3=1；③log₃1=0；④如果log_x16=4，那么x=2．
（2）設(shè)a^x=M，a^y=N，則log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)），因?yàn)閍^x•a^y=a^x+y，所以a^x+y=M•N所以log_aMN=x+y，即log_aMN=log_aM+log_aN．這是對(duì)數(shù)運(yùn)算的重要性質(zhì)之一，進(jìn)一步，我們還可以得出：log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n．（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均為正數(shù)，a＞0，a≠1）${log_a}\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)）．
（3）結(jié)合上面的知識(shí)你能求出 ${log_{15}}2+{log_{15}}20+{log_{15}}^{\frac{3}{2}}-{log_{15}}4$  的值嗎？

Answer 1

分析 （1）原式各項(xiàng)根據(jù)題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果；
（3）原式利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）①log₃81=log₃3⁴=4；②log₃3=1；③log₃1=0；④如果log_x16=4，那么x=2；
（2）log_aM₁M₂M_3…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；log_a$\frac{m}{n}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)）；
（4）原式=log₁₅2×20×$\frac{3}{2}$÷4=log₁₅15=1．
故答案為：（1）①4；②1；③0；④2；（2）log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；log_aM-log_aN

點(diǎn)評(píng) 此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題中對(duì)數(shù)的定義及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．