【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AB交AC邊于點(diǎn)D,將∠A沿直線DE翻折,點(diǎn)A落在線段AB上的F處,連接FC,當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí),AE的長(zhǎng)為_____.
【答案】2或或.
【解析】
由勾股定理求出AB,設(shè)AE=x,則EF=x,BF=10﹣2x;分三種情況討論:
①當(dāng)BF=BC時(shí),列出方程,解方程即可;
②當(dāng)BF=CF時(shí),F在BC的垂直平分線上,得出AF=BF,列出方程,解方程即可;
③當(dāng)CF=BC時(shí),作CG⊥AB于G,則BG=FGBF,由射影定理求出BG,再解方程即可.
由翻折變換的性質(zhì)得:AE=EF.
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB10.
設(shè)AE=x,則EF=x,BF=10﹣2x.
分三種情況討論:
①當(dāng)BF=BC時(shí),10﹣2x=6,
解得:x=2,
∴AE=2;
②當(dāng)BF=CF時(shí).
∵BF=CF,
∴∠B=∠FCB.
∵∠A+∠B=90°,∠FCA+∠FCB=90°,
∴∠A=∠FCA,
∴AF= FC.
∵BF=FC,
∴AF=BF,
∴x+x=10﹣2x,
解得:x,
∴AE;
③當(dāng)CF=BC時(shí),作CG⊥AB于G,如圖所示:
則BG=FGBF.
根據(jù)射影定理得:BC2=BGAB,
∴BG,
即(10﹣2x),
解得:x,
∴AE;
綜上所述:當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí),AE的長(zhǎng)為:2或或.
故答案為:2或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象與直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn),,且直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),連接,.
(1)直接寫出,的值及直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)與的面積相等嗎?寫出你的判斷,并說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn),當(dāng)的值最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2﹣3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C.
(1)A點(diǎn)坐標(biāo)為 ,B點(diǎn)坐標(biāo)為 ,C點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
(2)如圖1,D為B點(diǎn)右側(cè)拋物線上一點(diǎn),連接AD,若tan∠CAD=2,求D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)E、F是對(duì)稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),直線AE、AF分別交y軸于M、N,如圖2.若OMON=2,直線EF上有且只有一點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為定值,求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】粵東農(nóng)批﹒2019球王故里五華馬拉松賽于12月1日在廣東五華舉行,組委會(huì)為了做好運(yùn)動(dòng)員的保障工作,沿途設(shè)置了4個(gè)補(bǔ)給站,分別是:A(粵東農(nóng)批)、B(奧體中心)、C(球王故里)和D(濱江中路),志愿者小明和小紅都計(jì)劃各自在這4個(gè)補(bǔ)給站中任意選擇一個(gè)進(jìn)行補(bǔ)給服務(wù),每個(gè)補(bǔ)給站被選擇的可能性相同.
(1)小明選擇補(bǔ)給站C(球王故里)的概率是多少?
(2)用樹(shù)狀圖或列表的方法,求小明和小紅恰好選擇同一個(gè)補(bǔ)給站的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E兩點(diǎn)分別在AC,BC上,且DE∥AB,將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):當(dāng)α=0°時(shí),的值為 ;
(2)拓展探究:當(dāng)0°≤α<360°時(shí),若△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖2的情況時(shí),求出的值;
(3)問(wèn)題解決:當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A,B,E三點(diǎn)共線時(shí),若設(shè)CE=5,AC=4,直接寫出線段BE的長(zhǎng) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】材料1:如圖1,昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋,當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu).此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖2所示,其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間,懸掛著主索,再以相應(yīng)的間隔,從主索上設(shè)置豎直的吊索,與橋面垂直,并連接橋面承接橋面的重量,主索幾何形態(tài)近似符合拋物線.
圖1
圖2
材料2:如圖3,某一同類型懸索橋,兩橋塔AD=BC=10 m,間距AB為32 m,橋面AB水平,主索最低點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P距離橋面為2 m;
圖3
為了進(jìn)行研究,甲、乙、丙三位同學(xué)分別以不同方式建立了平面直角坐標(biāo)系,如下圖:
甲同學(xué):以DC中點(diǎn)為原點(diǎn),DC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系;
乙同學(xué):以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系;
丙同學(xué):以點(diǎn)P為原點(diǎn),平行于AB的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)請(qǐng)你選用其中一位同學(xué)建立的平面直角坐標(biāo)系,寫出此種情況下點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出主索拋物線的表達(dá)式;
(2)距離點(diǎn)P水平距離為4 m和8 m處的吊索共四條需要更換,則四根吊索總長(zhǎng)度為多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)及點(diǎn)
(1)求二次函數(shù)的解析式及的坐標(biāo)
(2)根據(jù)圖象,直按寫出滿足的的取值范圍
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市銷售一種書包,平均每天可銷售100件,每件盈利30元.試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn):該商品每件降價(jià)1元,超市平均每天可多售出10件.設(shè)每件商品降價(jià)元時(shí),日盈利為元.據(jù)此規(guī)律,解決下列問(wèn)題:
(1)降價(jià)后每件商品盈利 元,超市日銷售量增加 件(用含的代數(shù)式表示);
(2)在上述條件不變的情況下,求每件商品降價(jià)多少元時(shí),超市的日盈利最大?最大為多少元?
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