【題目】如圖,將直角的頂點放在正方形的對角線上,使角的一邊交于點,另一邊交或其延長線于點,求證:;
如圖,將直角頂點放在矩形的對角線交點,、分別交與于點、,且平分.若,,求、的長.
【答案】(1)見解析;(2),.
【解析】
(1)首先過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為H、P,然后利用ASA證得Rt△FEP≌Rt△GEH,則問題得證;
(2)過點E作EM⊥BC于M,過點E作EN⊥CD于N,垂足分別為M、N,過點C作CP⊥EG交EG的延長線于點P,過點C作CQ⊥EF垂足為Q,可得四邊形EPCQ是矩形,四邊形EMCN是矩形,可得EC平分∠FEG,可得矩形EPCQ是正方形,然后易證△PCG≌△QCF(AAS),進而可得:CG=CF,由EM∥AB,EN∥AD知△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,從而可得EF:EG=BC:AB=2,進而可得:EF=2EG,然后易證EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線,進而可得:EM=1,EN=2,MC=2,CN=1,然后易證△EMG∽△ENF,進而可得MG:NF=EM:EN=1:2,即NF=2MG,然后設MG=x,根據(jù)CG=CF,列出方程即可解出x的值,即MG的值,然后在Rt△EMG中,由勾股定理即可求出EG的值,進而可得EF的值.
解:如圖,過點作于,過點作于,
∵四邊形為正方形,
∴平分,
又∵,,
∴,
∴四邊形是正方形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴;如圖,過點作于,過點作于,垂足分別為、,
過點作交的延長線于點,過點作垂足為,
則四邊形是矩形,四邊形是矩形,
∵平分,
∴,
∴矩形是正方形,
∴,
∴,
∵,
∴,
在和中,
∵,
∴,
∴,
∵,.
∴,,
∴、,
∴,
即,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵點放在矩形的對角線交點,
∴和分別是和的中位線,
∴,,,,
∵四邊形是矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
設,則,,,
∵,
∴,
解得:,
∴,
在中,由勾股定理得:
,
∵,
∴.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們知道:x2﹣6x=(x2﹣6x+9)﹣9=(x﹣3)2﹣9;﹣x2+10=﹣(x2﹣10x+25)+25=﹣(x﹣5)2+25,這一種方法稱為配方法,利用配方法請解以下各題:
(1)按上面材料提示的方法填空:a2﹣4a= = .﹣a2+12a= = .
(2)探究:當a取不同的實數(shù)時在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值?請說明理由.
(3)應用:如圖.已知線段AB=6,M是AB上的一個動點,設AM=x,以AM為一邊作正方形AMND,再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN.問:當點M在AB上運動時,長方形MBCN的面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值;否則請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是某同學對多項式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4進行因式分解的過程
解:設x2﹣4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4。ǖ谝徊剑
=y2+8y+16。ǖ诙剑
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的 (填序號).
A.提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)該同學在第四步將y用所設中的x的代數(shù)式代換,得到因式分解的最后結果.這個結果是否分解到最后? .(填“是”或“否”)如果否,直接寫出最后的結果 .
(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1進行因式分解.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形ABCD中,邊AB、BC的長(AB<BC)是方程x2﹣7x+12=0的兩個根.點P從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運動,運動時間為t(秒).
(1)求AB與BC的長;
(2)當點P運動到邊BC上時,試求出使AP長為時運動時間t的值;
(3)當點P運動到邊AC上時,是否存在點P,使△CDP是等腰三角形?若存在,請求出運動時間t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G,過點G作EF∥BC交AB于E,交AC于F,過點G作GD⊥AC于D,下列四個結論:
①EF=BE+CF;②∠BGC=90°+∠A;③點G到△ABC各邊的距離相等;④設GD=m,AE+AF=n,則S△AEF=mn.其中正確的結論有( 。
A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,B. C.E在同一條直線上,連結DC.
(1)請在圖2中找出與△ABE全等的三角形,并給予證明;
(2)證明:DC⊥BE.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,OABC是邊長為1的正方形,OC與x軸正半軸的夾角為15°,點B在拋物線y=ax2的圖象上,則a的值為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm, BC=12cm.點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動,同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動,若一個點到達目的停止運動時,另一點也隨之停止運動.運動時間為t秒;
(1)用含有t的代數(shù)式表示BQ、CP的長;
(2)寫出t的取值范圍;
(3)用含有t的代數(shù)式 表示Rt△PCQ和四邊形APQB的面積;
(4)當P、Q處在什么位置時,四邊形PQBA的面積最小,并求這個最小值.
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