Question

15．加圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥CB于點(diǎn)F，求證：
（1）DE=DF；
（2）四邊形DECF是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先連接CD，由在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中點(diǎn)，可得CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，又由DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥CB于點(diǎn)F，即可證得結(jié)論；
（2）易證得四邊形DECF是矩形，又由DE=DF，即可證得四邊形DECF是正方形．

解答 證明：（1）連接CD，
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，
∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=DF；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形CEDF是矩形，
∵DE=DF，
∴四邊形DECF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的判定．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．