Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，AB與OD交于點P，其中OA=3，OB=2．
（1）求AB所在直線的解析式；
（2）求OD所在直線的解析式；
（3）求交點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由OA=3，OB=2以及點A、B所在的位置即可得出點A、B的坐標，再利用待定系數法即可求出AB所在直線的解析式；
（2）過點D作DE⊥y軸于點E，通過角的計算得出∠OAB=∠EDA，結合AD=BA以及∠AED=∠BOA=90°即可證出△OAB≌△EDA（AAS），進而即可得出AE、ED的長，再根據OE=OA+AE即可得出點D的坐標，利用待定系數法即可求出OD所在直線的解析式；
（3）聯立直線AB、OD的解析式成方程組，解方程組即可求出交點P的坐標．

解答 解：（1）∵A在y軸正半軸上，B在x軸正半軸上，OA=3，OB=2，
∴A（0，3），B（2，0）．
設AB所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴AB所在直線的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3．
（2）過點D作DE⊥y軸于點E，如圖所示．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=BA，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠EAD=90°．
又∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠OAB=∠EDA．
在△OAB和△EDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠EDA}\\{∠AED=∠BOA=90°}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴AE=BO=2，ED=OA=3，
∴OE=OA+AE=5，
∴D（3，5）．
設OD所在直線的解析式為y=ax（a≠0），
∴5=3a，解得：a=$\frac{5}{3}$，
∴OD所在直線的解析式為y=$\frac{5}{3}$x．
（3）聯立直線AB和OD，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=\frac{5}{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{19}}\\{y=\frac{30}{19}}\end{array}\right.$．
∴交點P的坐標為（$\frac{18}{19}$，$\frac{30}{19}$）．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、全等三角形的判定與性質以及解二元一次方程組，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出直線AB的解析式；（2）利用待定系數法求出直線OD的解析式；（3）聯立直線AB、OD的解析式成方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．